Bestimme eine Darstellungsmatrix von L bezüglich der Basen.

Question

Aufgabe:

Es seien V und K zwei K-Vektorräume, b₁, b₂, b₃ eine Basis von V, c₁, c₂, c₃, c₄ eine Basis von W und L: V→W eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung mit:

L(b₁)= c₁-c₂+c₄ ,  L(b₂) = -2c₂-c₃-2c₄ ,  L(b₃) = 3c₁+c₃

a) Bestimme eine Darstellungsmatrix von L bezüglich der Basen.

b) Zeige, dass die Vektorsysteme d₁ ,d₂ ,d₃ und f₁ ,f₂ ,f₃ ,f₄, definiert durch

d₁=b₃ , d₂=b₂-b₃ , d₃=b₁+b₂+b₃

bzw.

f₁=c₂ , f₂=c₁ , f₃=3c₁+2c₂+c₃ , f₄=-c₁-4c₂-c₄

Basen von V bzw. W bilden.

c) Bestimme die Darstellungsmatrix von L bzgl der neuen Basen d und f.

Problem/Ansatz:

Die Aufgabe sieht zwar lang aus, aber eigentlich müsste ich nur wissen, wie man auf die Darstellungsmatrix kommt und ich bräuchte einen Ansatz für Teilaufgabe b), denn lineare Unabhängigkeit ist ohne bestimmte Zahlen ja schlecht zu beweisen...

Answer 1

Aloha :)

a) Die Darstellungsmatrix \(\mathbf L^B_C\) bekommst du, wenn du die 3 gegebenen Bilder

$$\mathbf L^B_C\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!B}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\1\end{pmatrix}_{\!\!C}\quad;\quad\mathbf L^B_C\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_{\!\!B}=\begin{pmatrix}0\\-2\\-1\\-2\end{pmatrix}_{\!\!C}\quad;\quad\mathbf L^B_C\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_{\!\!B}=\begin{pmatrix}3\\0\\1\\0\end{pmatrix}_{\!\!C}$$in einer Matrix-Gleichung zusammenfasst:

$$\mathbf L^B_C\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\-1 & -2 & 0\\0 & -1 & 1\\1 & -2 & 0\end{pmatrix}\quad\implies\quad \mathbf L^B_C=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\-1 & -2 & 0\\0 & -1 & 1\\1 & -2 & 0\end{pmatrix}$$

b) Hier musst du zeigen, dass die Spalten in den Transformationmatrizen linear unabhängig sind:

$$\mathbf{id}_B^D=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\1 & -1 & 1\end{pmatrix}\quad;\quad\mathbf{id}_C^F=\begin{pmatrix}0 & 1 & 3 & -1\\1 & 0 & 2 & -4\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$$Das sieht man aber sofort, da man die Spalten durch Tauschen auf Stufenform bringen kann.

c) Hier musst du "nur" eine Matrix-Inversion und zwei Matrix-Multiplikationen durchführen:

$$\mathbf L_F^D=\mathbf{id}_F^C\cdot\mathbf L_C^B\cdot\mathbf{id}_B^D=\left(\mathbf{id}_C^F\right)^{-1}\cdot\mathbf L_C^B\cdot\mathbf{id}_B^D$$

Comments

Vielen vielen Dank, auf die Matrix in Teilaufgabe a) bin ich mittlerweile auch gekommen :)

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Ich habe die Matrizen gerade mal in Excel reingeworfen. Zur Kontrolle:

$$\mathbf L_F^D=\begin{pmatrix}-2 & 10 & 1\\0 & 5 & 5\\1 & -2 & 0\\0 & 2 & 1\end{pmatrix}$$

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Könntest du mir vielleicht noch kurz erklären wie du auf die Matrizen in b) gekommen bist? Ich habe da komplett andere zahlen raus...

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Die Matrix \(\mathbf{id}_B^D\) tansformiert von der Basis \(D\) in die Basis \(B\).

$$\vec d_1=\vec b_3\implies\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!\!D}\to\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_{\!\!\!B}$$$$\vec d_2=\vec b_2-\vec b_3\implies\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_{\!\!\!D}\to\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}_{\!\!\!B}$$$$\vec d_3=\vec b_1+\vec b_2+\vec b_3\implies\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_{\!\!\!D}\to\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}_{\!\!\!B}$$Für die Abbildungsmatrix \(\mathbf{id}_B^D\) von \(D\) nach \(B\) gilt also:

$$\mathbf{id}_B^D\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\1 & -1 & 1\end{pmatrix}$$

Die andere Matrix wird analog gebildet...

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Stimmt, danke, das hatte ich dann falsch verstanden.