Aufgabe:
Die orthogonale Gruppe \( O(n) \) ist durch
$$ O(n):=\left\{A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid A^{T} A=1_{n}\right\} $$
definiert. In U36(iii) haben wir gesehen, dass \( O(n) \) eine Untergruppe von \( \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}) \) ist und für \( A \in O(n) \) stets \( |\operatorname{det}(A)|=1 \) gilt.
(i) Wir betrachten den euklidischen Vektorraum \( \mathbb{R}^{n} \) mit dem Standard-Skalarprodukt \( \langle\cdot, \cdot\rangle . \) Zeigen Sie, dass für \( A \in O(n) \) der Endomorphismus \( f_{A}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \quad x \mapsto \)
\( A x \) eine Isometrie bzgl. \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) ist, d.h., \( \operatorname{dass}\langle A x, A y\rangle=\langle x, y\rangle \) für alle \( x, y \in \mathbb{R}^{n} \) gilt.
(ii) Beweisen Sie, dass eine reelle \( n \times n \) -Matrix \( A \) genau dann orthogonal ist (d.h. ein Element von \( O(n) \) ist), wenn die Zeilen von \( A \) eine Orthonormalbasis des \( \mathbb{R}^{n} \) bilden.
(iii) Beweisen Sie die Behauptung: Jedes Element \( A \in O(2) \) ist entweder eine Drehung oder eine Spiegelung, d.h. es gibt \( \theta \in[0,2 \pi), \) so dass \( A=\left(\begin{array}{c}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right) \)
oder \( A=\left(\begin{array}{ll}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta\end{array}\right) \) gilt.
