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Aufgabe:

seien a0 = 1/2 und an+1 = (2 - an)an für n≥0

1) Zeigen Sie dass die Folge (an) n∈N konvergiert.

2) Bestimmen Sie den Grenzwerte der Folge (an) .


Problem/Ansatz:

Wie kann man die Folge in diesem Fall bestimmen ?

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Es gilt für alle n ≥ 0

       (2 - an)an ≤ 1 <=>  0 ≤ (an-1)^2

also ist 1 eine obere Schranke.

Zudem ist an+1 - an = an(2-an) - an = -(an-1/2)^2 + 1/4 ≥ 0

da 1 eine obere Schranke , ist die Folge monoton steigend.

Monoton steigend und nach oben beschränkt ==> konvergent.

Wenn g der Grenzwert ist gilt wegen der Rekursion

       g = (2-g) * g ==>  g=0 oder g=1 ,

 hier also g=1 .

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