Zeigen Sie dass die Folge (an) n∈N konvergiert.

Question

Aufgabe:

seien a_{0 = 1/2 und} a_{n+1 =} (2 - a_n)a_{n für n≥0}

_{1) Zeigen Sie dass die Folge (an) n∈N konvergiert.}

_{2) Bestimmen Sie den Grenzwerte der Folge (an) .}

Problem/Ansatz:

Wie kann man die Folge in diesem Fall bestimmen ?

Answer 1

Es gilt für alle n ≥ 0

       (2 - an)an ≤ 1 <=>  0 ≤ (an-1)^2

also ist 1 eine obere Schranke.

Zudem ist a_n+1 - a_n = a_n(2-a_n) - a_n = -(a_n-1/2)^2 + 1/4 ≥ 0

da 1 eine obere Schranke , ist die Folge monoton steigend.

Monoton steigend und nach oben beschränkt ==> konvergent.

Wenn g der Grenzwert ist gilt wegen der Rekursion

       g = (2-g) * g ==>  g=0 oder g=1 ,

 hier also g=1 .