Fläche zwischen Kooordinatenachsen und zwei Graphen berechnen

Question

Aufgabe:

Fläche berechnen, die durch den Graphen von f(x)= \( \frac{1}{8} \)x² - \( \frac{1}{2} \)x + \( \frac{3}{2} \), die Tangente des Graphen im Punkt P(4|f(4)) und den Koordinatenachsen eingeschlossen wird

Problem/Ansatz:

Wie geht man vor, ohne es sich im Koordinatensystem anzuschauen?

Die Tangente habe ich bestimmt: t(x)=0.5x-0.5

Answer 1

Hallo,

zunächst schaut man sich das mal an

~plot~ (1/8)x^2-(1/2)x+(3/2);{4|3/2};(x-4)/2+3/2;{4|0};{1|0};[[-2|6.5|-2|4]] ~plot~

es ist wohl nach der Fläche unter der Parabel im Intervall \([0..4]\) gefragt abzüglich des Dreiecks (mit den drei Punkten markiert), welches von der Tangente abgeschnitten wird. Die Tangente berechnet sich nach der Punkt-Steigungs-Form aus$$f'(4) = \frac 14x - \frac 12 = \frac 12, \quad f(4)=\frac 32 \\ \begin{aligned}\implies t(x) &= \frac 12(x-4) + \frac 32 \\ &= \frac 12 x - \frac 12 \\ \implies t(1) &= 0\end{aligned}$$Also$$\begin{aligned}F &= \int_0^4 f(x) \,\text dx \space - \frac 12(4-1)\cdot f(4) \\ &= \int_0^4  \frac{1}{8}x^{2} -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\,\text dx \space - \frac 32 \cdot \frac 32 \\&= \left. \frac 1{24} x^3 - \frac 14x^2 + \frac 32 x\right|_0^4 - \frac 94 \\&= \frac{14}3 - \frac 94 \\&= \frac{29}{12}\end{aligned}$$

Comments

Wie erkenne ich das jedoch ohne es zu zeichnen?

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Wie erkenne ich das jedoch ohne es zu zeichnen?

Gute Frage! evt. gar nicht. Selbst wenn ich es nicht zeichne, habe ich zumindest davon eine Skizze im Kopf, die ich mir vorstellen kann.

Die Funktion könte ja auch ganz anders verlaufen ... z.B. so was

~plot~ -(x+1.5)^2/2+2;-(x+1)/2+1.875 ~plot~

Denke Dir jetzt dazu den selben Text wie oben mit \(P(-1|\, f(-1))\).

Du musst mindestens alle Schnittpunkte des Graphen und seiner Tangente mit den Koordinatenachsen berechnen und davon Dir ein ungefähres Bild machen, wie die Graphen im Prinzip verlaufen.

Bei Deiner Aufgabe hat die Parabel nur den einen Schnittpunkt bei \(f(0)=3/2\) (Anfang des Intervalls) und von der Tangente ist nur \(t(1)=0\) relevant.

Und dann noch was: Eine Skizze ist IMMER von Vorteil!

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Vielen Dank! :)