Wie stellt man den Kosinussatz auf

Question

Aufgabe:

Ich habe eine Frage über den kossinussatz undzwar muss ich beim aufstellen der Formel irgendwas beachten z.b bei sinussatz nur die gegenüberliegende winkel und Seite gibst sowas auch beim Kossinussatz?

Und ich habe ei e frag zu dem Foto wie stelle ich die formel auf wenn Delta gesucht ist und wenn ich die Werte v x und a haben aber ohne Zahlen aufstellen

Wie stellt man sowas auf und muss ich irgendwas beachten?

Answer 1

Hallo Maxi,

Man muss bei jeder Anwendung einer Formel darauf achten, dass man die Formel mit den richtigen Werten versorgt. D.h. dass man die richtigen Größen auch als solche identifiziert.

Der Kosinussatz lautet: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)$$wobei \(a\), \(b\) und \(c\) die drei Seitenlänge eines Dreiecks sind und der Winkel \(\gamma\) liegt der Seite \(c\) gegenüber!

muss ich irgendwas beachten?

Das Entscheidende ist sicher, dass der Winkel der Seite gegenüberliegt, die oben in der Formel dem \(c\) entspricht.

In Deiner Skizze liegt die Seite \(v\) dem gegebenen Winkels \(\delta\) gegenüber. Das heißt \(v\) nimmt die Rolle von \(c\) (s.o.) und \(\delta\) die Rolle von \(\gamma\) aus dem Kosinussatz ein. Die Seiten \(a\) und \(x\) sind die anliegenden Seiten. Also$$v^2 = a^2 + x^2 -2ax\cos(\delta)$$Anschließend kannst Du dann die Gleichung so umstellen, dass die Größe, die Du nicht kennst, alleine steht.

Comments

Dazu hätte ich noch eine Frage undzwar warum nehmen sie genau die Formel es gibt glaub ich  noch 2 weiter Stück und in der Formel gibt es ja noch ein a und ein b wenn jetzt anstatt des a und b ein j k stehen würde wie könnte ich wissen was a und b ist damit ich es richtig einsetze?

Und noch eine kleine Frage udzwar wenn ich beim Kosinussatz zwei Seiten haben und den einen winkel genau bei den Seiten welchen winkel könnte ich dann als erstes berechnen oder könnte man beider als erstes berechnen?

Danke für ihre Antwort.

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Dazu hätte ich noch eine Frage undzwar warum nehmen sie genau die Formel es gibt glaub ich noch 2 weiter Stück

Ja & Nein! Es gibt nur genau EINEN Kosinussatz. In Prosa lautet der:

das Quadrat einer Dreiecksseite ist genauso groß wie die Summe der Quadrate der beiden anderen minus dem Doppelten des Produkts der beiden anderen, das mit dem Cosinus des Winkels multipliziert wird, der dem ersten Seite gegenüberliegt.

Wie man die Seiten und den Winkel benennt ist dabei irrelevant! Man muss nur die richtige Seite in die 'richtige Tüte' stecken!

.. wie könnte ich wissen was a und b ist damit ich es richtig einsetze?

mache Dir klar, dass beim Kosinussatz genau ein Winkel eine Rolle spielt. Nenne ihn \(Erna\). Gegenüber von \(Erna\) liegt die Seite \(Otto\). Die anderen Seiten sind die Schenkel von \(Erna\) und heißen \(Ben\) und \(Bom\).

Dann gilt $$Otto^2 = Ben^2 + Bom^2 - 2Ben\, Bom\, \cos(Erna)$$Namen sind Schall&Rauch. Das Entscheidende ist die Rolle, die Seiten bzw. Winkel einnehmen!

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wenn ich beim Kosinussatz zwei Seiten haben und den einen winkel genau bei den Seiten welchen winkel könnte ich dann als erstes berechnen oder könnte man beider als erstes berechnen?

Meinst Du das so:

Im ersten Schritt kannst Du gar keinen Winkel berechnen. Du kannst aber die Länge der blauen Seite \(x\) berechnen. Und im zweiten Schritt, dann mit dem Sinussatz einen der anderen Winkel. Den dritten Winkel bekommt man dann über die Winkelsumme 180° im Dreieck.

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Sie können es 10000 mal besser erklären als mein Lehrer vielen Dank Meine letzte Frage ist was ist wenn ich alle 3 Seiten gegeben habe, dann kann ich egal welchen winkel als erstes berechnen oder?

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... wenn ich alle 3 Seiten gegeben habe, dann kann ich egal welchen winkel als erstes berechnen oder?

Ja - genau! Du suchst Dir einen Winkel aus und die eine Seite, die diesem Winkel gegenüberliegt, ist dann \(Otto\) alias \(c\) - also die Seite, die links und allein im Kosinussatz (s.o.) steht.

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Hallo,

Sie haben am Anfang ja gesagt das es eigentlich nur 1 formel gibt aber wir haben gerade die:

a2 = b2 + c2 - 2·b·c·cos(α)
b2 = a2 + c2 - 2·a·c·cos(β)
c2 = a2 + b2 - 2·a·b·cos(γ)

(Quadrat)

Ist ihre formel besser also wenn man sie richtig einsetzt und umstellt oder wann sollte man die 3 Formeln benutzen?

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... aber wir haben gerade die:

Oh je! Ganz im Ernst: ich finde das ziemlich kontraproduktiv vom Lerneffekt her, wenn Euch Schülern das in dieser Form präsentiert wird.

Nehmen wir mal eine berümte 'Formel' $$a^2+b^2 = c^2$$Was besagt das? In Wirklichkeit rein gar nichts!! Erst mit der zusätzlichen Information, dass es sich bei den Variablen \(a\) und \(b\) um die Längen der Katheten und bei \(c\) um die Länge der Hypotenuse des selben rechtwinkligen Dreiecks handelt, erst mit dieser zusätzlichen Information, wird daraus der Satz des Pythagoras.

Was besagt $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)$$zunächst wird vorausgesetzt, dass \(a\), \(b\) und \(c\) die Seitenlängen eines Dreiecks sind und (!) es wird vorausgesetzt, dass der Dreieckswinkel \(\alpha\) der Seite \(a\) gegenüberliegt! In jedem anderen Fall wäre die Formel oben ungültig!

Also besagt die Formel:

das Quadrat einer Dreiecksseite ist genauso groß wie die Summe der Quadrate der beiden anderen minus dem Doppelten des Produkts der beiden anderen, das mit dem Cosinus des Winkels multipliziert wird, der dem ersten Seite gegenüberliegt.

Jetzt die nächste. Was sagt folgendes aus?$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$$es sind wieder die üblichen Benamsungen geneint (s.o.). Und ansonsten ist doch die Aussage:

das Quadrat einer Dreiecksseite ist genauso groß wie die Summe der Quadrate der beiden anderen minus dem Doppelten des Produkts der beiden anderen, das mit dem Cosinus des Winkels multipliziert wird, der dem ersten Seite gegenüberliegt.

Und was bedeutet die dritte Formel: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$$Die Aussage ist wieder

das Quadrat einer Dreiecksseite ist genauso groß wie ... usw.

Fällt Dir was auf? Das ist doch alles das selbe! Oder nicht?

Und irgendwann kommst Du in andere Klasse oder in ein anderes Land oder womöglich an die Uni. Und dort werden die Seiten eines Dreiecks mit \(u\), \(v\) und \(y\) bezeichnet. Oder auch mit \(Ben\), \(Bom\) und \(Otto\). Und dann sollst Du den Kosinussatz aufstellen.

Geht das dann nicht mehr, weil keine der drei (auswendig!?) gelernten zutrifft? ... oder vielleicht doch?

Heißer Tipp: lerne keine Formeln auswendig! Lerne Zusammenhänge, Abhängigkeiten, Muster. Man könnte auch sagen: Geschichten aus der Mathematik.

Schau Dir mal einen Beweis an, und versuche den nachzuvollziehen. Formeln alleine sind 'Telefonbuchwissen'. Und sie sind wertlos ohne das 'Dahinter' verstanden zu haben.

Und noch was: Die Frage nach der Formel ist immer die falsche Frage.

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Jetzt hab ich verstanden, das man eigentlich nur richtig einsetzen muss und nicht wie der Leher gesagt hat "lernt die formel auswendig." Weil am Ende eh das gleiche rauskommt.

Sie müssen echt Lehrer werden

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... nicht wie der Lehrer gesagt hat "lernt die formel auswendig."

wenn Dein Lehrer das wirklich so gesagt hat, dann ist das IMHO ein pädagogisches Armutszeugnis.

Answer 2

cos-Satz sagt

v^2 = a^2 +  x^2 - 2ax*cos(δ)

==> cos(δ) = ( v^2 - a^2 - x^2 ) / ( -2ax )  = (   a^2 + x^2  -v^2  ) / ( 2ax )

==>  δ = cos^(-1) (   (  a^2 + x^2  -v^2  ) / ( 2ax ) )