Anfangswertproblem lösen für y(x)

Question

Hi,

ich habe ein Anfangswertproblem und weiß nicht weiter. In der Aufgabe soll die Lösung y(x) von

y ' =\( \frac{x}{x^{2}+1} \) · y,    

y(0)=1

berechnet werden.

Meine Überlegung:

y' nach rechts bringen sodass die Funktion null ist:

\( \frac{x}{x^{2}+1} \) · y - y ' =0

Anschließend die Ableitungen von y=c·\(e^{λx}\)   :

y'=c·λ·\(e^{λx}\)

Dann hab ich die Ableitung und die ursprungsfunktion eingesetzt und komme auf:

\( \frac{-λ+λ(-x)+1}{x+1} \)

eigentlich müsste ich jetzt meine Werte für λ berechnen, bekomm da aber irgenwie kein Lösung.

Answer 1

Ich würde "Trennung der Variablen" versuchen

==> dy/dx =   x/(x^2+1) * y  ==>  1/y dy = x / (x^2+1) dx integrieren liefert

ln(|y|) =  ln(x^2+1) / 2   + c

==>   |y| = k * √(x^2+1) mit  y(0)=1  gibt das  y = √(x^2+1).

Comments

Vielleicht noch als HInweis für die Fragestellerin: Dein Ansatz funktioniert (i.allg.) nur für lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. In einer Klausur zum Beispiel wäre es Zeitverschwendung, diesen Ansatz mal zu versuchen, wenn dieser Typ nicht vorliegt.

Gruß

---

Danke. Kannst du nochmal sagen, wie du auf

|y|=k·\( \sqrt{x^{2}+1} \) gekommen bist? Und warum wurde hier y(0)=1 genommen?

---

Das hat sich gerade erledigt, ich war ein wenig verwirrt, weil ich eine ähnlich Aufgabe hat bei der kein y(0)=1 vorgegeben war.