$$ \vec{A}\times \vec{B} = \epsilon _{ijk}A^iB^j\vec{e}_k $$
ja das gilt. Und wenn du das jetzt nach der Zeit ableitest:
$$ \partial_t ( \vec{A}\times \vec{B} ) = \partial_t \epsilon _{ijk}A^iB^j\vec{e}_k $$
Die Ableitung vertauscht mit Summen und Skalaren, der k-te Einheitsvektor hängt nicht von der Zeit ab, kann man also auch vor die Ableitung ziehen:
$$ \partial_t \epsilon _{ijk}A^iB^j\vec{e}_k = \epsilon_{ijk} \vec{e}_k \partial_t(A^i B^j) $$
Produktregel anwenden:
$$ \epsilon_{ijk} \vec{e}_k \partial_t(A^i B^j) = \epsilon_{ijk} \vec{e}_k ((\partial_tA^i )B^j + A^i(\partial_t B^j)) $$
Distributivgesetze:
$$ \epsilon_{ijk} \vec{e}_k ((\partial_tA^i )B^j + A^i(\partial_t B^j)) = \left[ \epsilon_{ijk} \vec{e}_k (\partial_tA^i )B^j \right] + \left[ \epsilon_{ijk} \vec{e}_k A^i(\partial_t B^j) \right] \\= \left[(\partial_t \vec A) \times \vec B\right] + \left[ \vec A \times (\partial_t \vec B) \right]$$