Aloha :)
Von der Potenzreihe$$R(x)\coloneqq\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n+1}\cdot(x-1)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\cdot(x-1)^n\quad;\quad a_n\coloneqq\frac{1}{n+1}$$musst du zuerst den Konvergenzradius bestimmen \(r\) bestimmen:
$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n+2}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{n+2}{n+1}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{n+1+1}{n+1}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|1+\frac{1}{n+1}\right|=1$$
Damit wissen wir, dass die Reihe konvergiert für:$$|x-1|<r=1\implies -1<x-1<1\implies0<x<2\implies x\in(0|2)$$
Wir müssen noch die "Ränder" dieses Intervalls auf Konvergenz prüfen:
$$R(0)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n+1}=\ln(2)$$Für \(x=0\) konvergiert die Reihe gegen \(\ln(2)\). Wenn du die Potenzreihe für die Logarithmusfunktion nicht auswendig kennst, kannst du mit dem Leibniz-Kriterium argumentieren. Die Reihe konvergiert, weil \(a_n=\frac{1}{n+1}\) eine monotone Nullfolge ist.
$$R(2)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n+1}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\to\infty$$Für \(x=2\) divergiert die Reihe, weil die harmonische Reihe divergiert.
Damit haben wir die Menge \(M\) gefunden:\(\quad M=[0|2)\).
Die untere Grenze \(0\) gehört zur Menge, ist also ein Minimum.
Die obere Grenze \(2\) gehört nicht zur Menge, ist also ein Supremum.
Bemerkung: Maximum und Minimum unterscheiden sich von Supremum und Infimum dadurch, dass die ersten beiden tatsächlich als Werte gewählt werden können.
