Aloha :)
Wir überlegen uns zuerst, wie die Abbildungsmatrix \(\mathbf M_S^S\) bezüglich der Standard-Polynombasis$$S=(\,1,x,x^2,x^3,x^4\,)$$ aussehen würde. Für die Ableitung der Basis-Vektoren aus \(S\) gilt:$$1\to0\quad;\quad x\to1\quad;\quad x^2\to2x\quad;\quad x^3\to3x^2\quad;\quad x^4\to4x^3$$Das sieht in Vektor-Schreibweise so aus:
$$\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!\!S}\to\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!\!S}\;;\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!\!S}\to\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!\!S}\;;\;\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!\!S}\to\begin{pmatrix}0\\2\\0\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!\!S}\;;\;\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}_{\!\!\!S}\to\begin{pmatrix}0\\0\\3\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!\!S}\;;\;\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix}_{\!\!\!S}\to\begin{pmatrix}0\\0\\0\\4\\0\end{pmatrix}_{\!\!\!S}$$
Die Ableitung können wir also durch folgende Abbidlungsmatrix beschreiben:
$$\mathbf A_S^S=\left(\begin{array}{rrrrr}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 3 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 4\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$$
Die Abbildung \(f(p)=p'+2\cdot p\) lautet daher bezüglich der Standardbasis \(S\):
$$\mathbf M_S^S=\mathbf A_S^S+2\cdot\mathbf 1=\left(\begin{array}{rrrrr}2 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 2 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 3 & 0\\0 & 0 & 0 & 2 & 4\\0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)$$
Nun müssen wir diese Abbilungsmatrix \(\mathbf M_S^S\) bezüglich der Matrix \(B\) darstellen:
$$B=(\,1,1+x,x^2+x,x^3,x^4\,)$$
Die "Vektoren" dieser Basis \(B\) können wir leicht durch die "Vektoren" der Basis \(S\) ausdrücken. Die Transformationsmatrix lautet:
$$\mathbf{id}_S^B=\left(\begin{array}{rrrrr}1 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$
Damit können wir die gesuchte Abbildungsmatrix bezüglich der Basis \(B\) bestimmen:
$$\mathbf M_B^B=\mathbf{id}_B^S\cdot \mathbf M_S^S\cdot \mathbf{id}_S^B=\left(\mathbf{id}_S^B\right)^{-1}\cdot \mathbf M_S^S\cdot \mathbf{id}_S^B=\left(\begin{array}{rrrrr}2 & 1 & -1 & 3 & 0\\0 & 2 & 2 & -3 & 0\\0 & 0 & 2 & 3 & 0\\0 & 0 & 0 & 2 & 4\\0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)$$