Bestimmen Sie die Matrix

Question

ich benötige dringend eure Hilfe. Kann mir jemand diese Aufgabe "vorrechnen" wenn möglich bitte jeden Schritt kurz erklären. Mein Lehrer hat das leider nicht so verständlich gemacht.

Gegeben sei der \( \mathbb{R} \) -Vektorraum \( V=\mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) . \) Wir betrachten die Abbildung
\( f: V \rightarrow V, p \mapsto p^{\prime}+2 p \)

Bestimmen Sie die Matrix \( \mathcal{M}(f, B, B), \) wobei
\( B=1,1+x, x^{2}+x, x^{3}, x^{4} \)
Sie dürfen dabei voraussetzen, dass \( B \) eine Basis von \( V \) ist.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie bestimme ich hier die Matrix richtig?

Stichworte: matrix,lineare-algebra,basis

Ich stehe vor folgender Aufgabe:

Gegeben sei der \( \mathbb{R} \) -Vektorraum \( V=\mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) . \) Wir betrachten die Abbildung \( f: V \rightarrow V, p \mapsto p^{\prime}+2 p \)
Bestimmen Sie die Matrix \( \mathcal{M}(f, B, B), \) wobei \( B=1,1+x, x^{2}+x, x^{3}, x^{4} \)
Sie dürfen dabei voraussetzen, dass \( B \) eine Basis von \( V \) ist.

Könnte mir jemand den genauen Lösungsvorgang aufschreiben? Ich habe irgendwie Problem dabei das ganze formal richtig aufzuschreiben.. Danke

Answer 1

In der k-ten Spalte der Matrix stehen die Koeffizienten für

die Darstellung des Bildes des k-ten Basisvektors.

Wenn b1,b2,... b5 die Basisvektoren sind:

Für den ersten also f(1) = 0 + 2 =  2*b1 + 0b2 + 0b3+0b4+0b5,

also sieht es mit der ersten Spalte so aus:

2    ?   ?   ?    ?
0    ?   ?   ?   ?
0    ?   ?   ?   ?
0    ?   ?   ?   ?
0    ?   ?   ?   ?

f(b2) = 1 + 2(1+x) = 3 + 2x = 1*b1 + 2*b2 ++ 0b3+0b4+0b5,

also geht es weiter so:

2    1    ?   ?   ?
0    2    ?   ?   ?
0    ?   ?   ?   ?
0    ?   ?   ?   ?
0    ?   ?   ?   ?    etc.

Answer 2

Aloha :)

Wir überlegen uns zuerst, wie die Abbildungsmatrix \(\mathbf M_S^S\) bezüglich der Standard-Polynombasis$$S=(\,1,x,x^2,x^3,x^4\,)$$ aussehen würde. Für die Ableitung der Basis-Vektoren aus \(S\) gilt:$$1\to0\quad;\quad x\to1\quad;\quad x^2\to2x\quad;\quad x^3\to3x^2\quad;\quad x^4\to4x^3$$Das sieht in Vektor-Schreibweise so aus:

$$\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!\!S}\to\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!\!S}\;;\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!\!S}\to\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!\!S}\;;\;\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!\!S}\to\begin{pmatrix}0\\2\\0\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!\!S}\;;\;\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}_{\!\!\!S}\to\begin{pmatrix}0\\0\\3\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!\!S}\;;\;\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix}_{\!\!\!S}\to\begin{pmatrix}0\\0\\0\\4\\0\end{pmatrix}_{\!\!\!S}$$

Die Ableitung können wir also durch folgende Abbidlungsmatrix beschreiben:

$$\mathbf A_S^S=\left(\begin{array}{rrrrr}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 3 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 4\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$$

Die Abbildung \(f(p)=p'+2\cdot p\) lautet daher bezüglich der Standardbasis \(S\):

$$\mathbf M_S^S=\mathbf A_S^S+2\cdot\mathbf 1=\left(\begin{array}{rrrrr}2 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 2 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 3 & 0\\0 & 0 & 0 & 2 & 4\\0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)$$

Nun müssen wir diese Abbilungsmatrix \(\mathbf M_S^S\) bezüglich der Matrix \(B\) darstellen:

$$B=(\,1,1+x,x^2+x,x^3,x^4\,)$$

Die "Vektoren" dieser Basis \(B\) können wir leicht durch die "Vektoren" der Basis \(S\) ausdrücken. Die Transformationsmatrix lautet:

$$\mathbf{id}_S^B=\left(\begin{array}{rrrrr}1 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$

Damit können wir die gesuchte Abbildungsmatrix bezüglich der Basis \(B\) bestimmen:

$$\mathbf M_B^B=\mathbf{id}_B^S\cdot \mathbf M_S^S\cdot \mathbf{id}_S^B=\left(\mathbf{id}_S^B\right)^{-1}\cdot \mathbf M_S^S\cdot \mathbf{id}_S^B=\left(\begin{array}{rrrrr}2 & 1 & -1 & 3 & 0\\0 & 2 & 2 & -3 & 0\\0 & 0 & 2 & 3 & 0\\0 & 0 & 0 & 2 & 4\\0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)$$