Reihe berechnen Grenzwert

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{7}{8^k}} \)

Problem/Ansatz:

Ich komme hier nicht weiter. Ich hoffe jemand kann mir hier weiterhelfen

Answer 1

Aloha :)

Die Summe der unendlichen geometrischen Reihe ist \(\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\), falls \(|q|<1\) ist.

$$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{7}{8^k}=7\,\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{8^k}=7\,\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{8}\right)^k=7\left(\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{8}\right)^k+\overbrace{\left(\frac{1}{8}\right)^0-1}^{=0}\right)$$

Da die Summenformel für die geometrische Reihe beim Index \(0\) startet und nicht beim Index \(1\), addieren wir \(\left(\frac{1}{8}\right)^0=1\) zu der Summe und subtrahieren den Wert \(1\) wieder, damit wir das Endergebnis nicht ändern.

$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{7}{8^k}}=7\left(\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{8}\right)^k-1\right)=7\cdot\left(\frac{1}{1-\frac{1}{8}}-1\right)=7\cdot\left(\frac{8}{7}-1\right)=7\cdot\frac{1}{7}=1$$

Answer 2

Geometrische Reihe;

Summe = a0/(1-q) = (7/8)/(1-1/8) = 1