Berechnen Sie, nach welcher Zeit der Eiswurfel vollst ̈ändig geschmolzen ist.

Question

Aufgabe:

Textaufgabe lösen

Problem/Ansatz:

Ein Eiswurfel schmilzt bei Zimmertemperatur, und zwar umso schneller, je gr ̈ ößer seine Oberfläche ist.
Ein bestimmter Schmelzvorgang wird durch die folgende Funktion beschrieben:
V (t) = −0.08 · t³ + 1.2 · t² − 6 · t + 10

t ... Zeit in Minuten
V (t) ... Volumen des Eiswurfels in ̈ cm3
(a) Lesen Sie das ursprungliche Volumen des Eisw ̈ urfels aus der Funktionsgleichung ab! ̈
(b) Berechnen Sie, nach welcher Zeit der Eiswurfel vollst ̈ ändig geschmolzen ist.
(c) Skizzieren Sie den Graphen von V und interpretieren Sie seinen Verlauf im Sachzusammenhang!

Answer 1

Aloha :)

Das Volumen \(V\) des Eiswürfels nach der Zeit \(t\) beträgt:$$V(t)=-0,08t^3+1,2t^2-6t+10$$a) Zu Beginn, also bei \(t=0\) beträgt das Volumen:$$V(0)=10$$b) Bei welcher Zeit \(t\) ist der Eiswüfel verschwunden?$$0\stackrel!=V(t)=-0,08\left(-\frac{0,08}{-0,08}t^3+\frac{1,2}{-0,08}t^2-\frac{6}{-0,08}t+\frac{10}{-0,08}\right)\Longleftrightarrow$$$$0=-0,08\left(t^3-15t^2+75t-125\right)\Longleftrightarrow$$$$0=t^3-15t^2+75t-125$$Alle ganzzahligen Nullstellen eines Polynoms müssen Teiler der Zahl ohne \(t\) sein, also von der \((-125)\). Das sind gar nicht so viele, nämlich \(\pm1,\pm5,\pm25,\pm125\). Die negativen Zahlen scheiden direkt aus, weil \(t\ge0\) sein muss. Wir probieren die positiven Werte der Reihe nach durch und finden, dass für \(t=5\) das Polynom zu null wird.

Nach \(t=5\) Minuten ist der Eiswürfel also vollständig geschmolzen.

~plot~ -0,08x^3+1,2x^2-6x+10 ; [[-0,5|6|-0,5|11]] ~plot~

Answer 2

a) 10

b) V(t)= 0

−0.08 · t^3 + 1.2 · t^2 − 6 · t + 10=0

t^3-15t^2+75t-125 =0

Verwende ein Näherungsverfahren (Newton)