Es gibt ja noch die Methode , die auf der Überlegung beruht:
Ist fa)=g(a) und für alle x≥a gilt f ' (x) ≥ g ' (x) dann gilt
auch für alle x > a f(x) ≥ g(x) .
Wenn ich also mal beginne ( erst mal nur für x≥0) mit
f(x) = (1+x)ln(1+x)-x und g(x) = (1/2) * ( x^2 / ( 1 + x/3 ) )
Dann gilt f(0)=0 und g(0) und
f ' (x) = ln(x+1) und g ' (x) = 3x(x+6) / ( 2(x+3)^2 )
und da gilt auch wieder
f ' (0) = 0 und g ' (0) = 0 also nochmal
f ' ' (x) = 1/ (x+1) und g ' ' (x) = 27 / ( x+3)^3
und es gilt f ' ' (x) ≥ g ' ' (x) denn
( x+3) ^3 ≥ 27(x+1)
<=> x^3 + 9x^2 + 27x + 27 ≥ 27x + 27 und das passt ja.
Für x<0 geht das wohl ähnlich.