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ich möchte gern folgende Abschätzung für alle \(x \geq -1\) zeigen:

\((1+x) \ln(1+x) -x \geq \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{1+x/3}\)

Ich habe versucht das mit der Taylorregel zu beweisen aber ich scheitere daran.


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Was soll denn die Basis des log sein? Vielleicht kannst du beide Seiten als Exponenten zu dieser Basis schreiben?

entschuldige, ich habe es abgeändert

1 Antwort

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Es gibt ja noch die Methode , die auf der Überlegung beruht:

Ist fa)=g(a)  und für alle x≥a gilt f ' (x) ≥ g ' (x)  dann gilt

auch für alle x > a          f(x) ≥ g(x) .

Wenn ich also mal beginne ( erst mal nur für x≥0)  mit

f(x) = (1+x)ln(1+x)-x   und g(x) = (1/2) * ( x^2 / ( 1 + x/3 ) )

Dann gilt f(0)=0  und g(0) und

f ' (x) = ln(x+1)     und g ' (x) = 3x(x+6) / ( 2(x+3)^2 )

und da gilt auch wieder

f ' (0) = 0  und  g ' (0) = 0  also nochmal

f ' ' (x) =  1/ (x+1)   und g ' ' (x) = 27 / ( x+3)^3

und es gilt f ' ' (x) ≥ g ' ' (x)    denn

  ( x+3) ^3 ≥ 27(x+1)

<=>  x^3 + 9x^2 + 27x + 27   ≥ 27x + 27   und das passt ja.

Für x<0 geht das wohl ähnlich.

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