Abschätzung zu ln(1+x)

Question

ich möchte gern folgende Abschätzung für alle \(x \geq -1\) zeigen:

\((1+x) \ln(1+x) -x \geq \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{1+x/3}\)

Ich habe versucht das mit der Taylorregel zu beweisen aber ich scheitere daran.

Comments

Was soll denn die Basis des log sein? Vielleicht kannst du beide Seiten als Exponenten zu dieser Basis schreiben?

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entschuldige, ich habe es abgeändert

Answer 1

Es gibt ja noch die Methode , die auf der Überlegung beruht:

Ist fa)=g(a)  und für alle x≥a gilt f ' (x) ≥ g ' (x)  dann gilt

auch für alle x > a          f(x) ≥ g(x) .

Wenn ich also mal beginne ( erst mal nur für x≥0)  mit

f(x) = (1+x)ln(1+x)-x   und g(x) = (1/2) * ( x^2 / ( 1 + x/3 ) )

Dann gilt f(0)=0  und g(0) und

f ' (x) = ln(x+1)     und g ' (x) = 3x(x+6) / ( 2(x+3)^2 )

und da gilt auch wieder

f ' (0) = 0  und  g ' (0) = 0  also nochmal

f ' ' (x) =  1/ (x+1)   und g ' ' (x) = 27 / ( x+3)^3

und es gilt f ' ' (x) ≥ g ' ' (x)    denn

  ( x+3) ^3 ≥ 27(x+1)

<=>  x^3 + 9x^2 + 27x + 27   ≥ 27x + 27   und das passt ja.

Für x<0 geht das wohl ähnlich.