Produktionsfunktion mit zwei variablen

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Produktionsfunktion: 480x+82a+24xa-x^3-2a^2.

Finde die Input Kombination die Produktion maximiert.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher wie ich hier mit partieller Abteilung anfangen sollen, einmal nach jeder variablen ableiten und dann beide partiellen abteilungen gleich 0 setzen? Das Ergebnis soll (54,344.5) sein aber darauf komme ich so nicht.

Answer 1

partielle Ableitungen = 0 setzen gibt

-3x^2 + 24a + 480 =0

und -4a + 24x + 82 = 0  ==>  a = 6x + 20,5  #

oben einsetzen gibt -3x^2 + 144x + 972 = 0

==>   x = -6 oder x = 54 . Da x > 0 sein soll x = 54

Einsetzen bei #  gibt das a.

Answer 2

Aloha :)

Du vermutest richtig, wir müssen den Gradienten gleich null setzen:

$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x,a)=\binom{480+24a-3x^2}{82+24x-4a}\implies\binom{160+8a-x^2}{164-8a+48x}=\binom{0}{0}$$Wir addieren beide Gleichungen:

$$0=324+48x-x^2=-(x^2-48x-324)=-(x+6)(x-54)\implies x=54$$Die negative Lösung \(x=-6\) fällt weg, da es keine negativen Produktionsmengen gibt. Daraus können wir \(a\) im Extremum bestimmen:$$8a=164+48x=164+48\cdot54=2756\implies a=\frac{2756}{8}=\frac{689}{2}$$

Das Extremum liegt also im Punkt \(\left(x;a\right)=\left(54\big|\frac{689}{2}\right)\).

Answer 3

f(x, a)=480x+82a+24x a-x^3-2a^2

(d f(x, a))/dx=480+24a-3x^2

(d f(x ,a))/(d a)=82+24x-4a

1.) 480+24a-3x^2=0->->->160+8a-x^2=0

2.)82+24x-4a=0|*2 ->->->164+48x-8a=0

1.)+2.)

324+48x-x^2=0

x_1=-6  ->->->  82+24*(-6)-4a=0 ->->->a=-31/2 ->->-> entfällt

x_2=54->->->  82+24*(54)-4a=0 ->->->a=689/2