Komplexes Polynom - Substitution

Question

Komplexes Polynom. Zu bestimmen sind alle komplexen Lösungen.

Text erkannt:

\( P_{4}(x)=x^{4}+x^{2}+1 \)

Ich würde hier substituieren mit z= x² sodass ich erhalte:

P(z)= z² +z +1

dann mit der PQ-Formel und radizieren.

Als Lösungen des Radizieren erhalte ich:

w₀= \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 

w₁= -1 

\( \frac{a}{b} \)

Text erkannt:

\( P_{4}(x)=x^{4}+x^{2}+1 \)

Mit dem Rest der PQ-Formel zusammengefasst erhalte ich als endgültige Ergebnisse:

z₁₁= \( \frac{-1}{2} \) + \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)

z₁₂=  \( \frac{-1}{2} \) - 1

z₂₁=  \( \frac{-1}{2} \) - \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)

z₂₂=  \( \frac{-1}{2} \) + 1

Sind diese Ergebnisse richtig bzw. die Vorgehensweise? Denn ich habe am Ende nicht mehr rücksubstituiert, sofern dies nötig und möglich ist, aber wie weiß ich nicht.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Substitution eines komplexen Polynoms

Stichworte: komplexe-zahlen,polynom,substitution

Hallo.

Ich habe hier folgendes Komplexes Polynom. P(x)= x⁴ +x² +1 . Zu ermitteln sind alle komplexen Lösungen.

Mein Ansatz: Ich würde hier substituieren mit z= x² und erhalte z² + z + 1 . Könnte ich hier jetzt einfach die PQ-Formel verwenden?

Was wären die komplexen Lösungen dann, die Substitution verwirrt mich, vor allem weiß ich nicht ob man rücksubstituieren muss oder nicht...

Answer 1

Aloha :)

$$\left.x^4+x^2+1=0\quad\right|-\frac{3}{4}$$$$\left.x^4+x^2+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}\quad\right|\text{1-te binomische Formel links und }-1=i^2\text{ rechts}$$$$\left.\left(x^2+\frac{1}{2}\right)^2=i^2\cdot\frac{3}{4}\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.x^2+\frac{1}{2}=\pm\sqrt{i^2\cdot\frac{3}{4}}=\pm\frac{i}{2}\sqrt3\quad\right|-\frac{1}{2}$$$$\left.x^2=-\frac{1}{2}\pm\frac{i}{2}\sqrt3=\underbrace{\cos\frac{2\pi}{3}}_{=-\frac{1}{2}}\pm i\,\underbrace{\sin\frac{2\pi}{3}}_{=\frac{1}{2}\sqrt3}=e^{\pm i\frac{2\pi}{3}}\quad\right|\text{\(2\pi\)-Periode beachten}$$$$\left.x^2=e^{\pm i\left(\frac{2\pi}{3}+k\cdot2\pi\right)}\quad\right|k\in\mathbb Z\quad;\quad\sqrt{\cdots}$$$$\left.x=e^{\pm i\left(\frac{\pi}{3}+k\cdot\pi\right)}\quad\right|k\in\mathbb Z$$Für \(k=0\) und \(k=1\) erhalten wir unterschiedliche Lösungen. Die Lösungen für alle anderen \(k\) lassen sich auf diese beiden zurückführen. Daher gilt:$$x_1=e^{i\frac{\pi}{3}}\quad;\quad x_2=e^{-i\frac{\pi}{3}}\quad;\quad x_3=e^{i\frac{4\pi}{3}}\quad;\quad x_4=e^{-i\frac{4\pi}{3}}$$Oder in die kartesischen Gauß-Koordinaten:

$$x_1=\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt3}{2}\quad;\quad x_2=\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt3}{2}\quad;\quad x_3=-\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt3}{2}\quad;\quad x_4=-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt3}{2}$$

Zwei von deinen Lösungen finde ich wieder, bei den beiden anderen muss irgendwo ein Bug sein.

Comments

Danke für diese ausführliche Antwort. Jedoch ist die für mich zu kompliziert und nicht ganz nachvollziehbar. Könnten wir bitte dem Substitutionsverfahren bleiben? Wäre nett wenn Sie es daran erklären könnten bitte.

Danke für Ihre Mühe.

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Hallo

was Tsch.  gemacht hat ist praktisch das pq Verfahren, das so hergeleitet wird. Das Ergebnis für z bzw. x^2  hatte ich dir auch schon geschrieben, da hast du einfach pq falsch angewandt.

daraus dann die Wurzel zu ziehen muss du schon  wie Tsch. machen,

Gruß lul

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Oke lieben dank!

Answer 2

Hallo

das Vorgehen z^2+z+1 zu schreiben ist ok, aber dann ist die Lösung falsch, was du leicht mit einsetzen nachprüfen kannst.

z=-1/2±i*√0,75

daraus musst du jetzt für x die komplexe Wurzel ziehen indem du z in r*e^iφ verwandelst

lul