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a) Hier müssen wir zeigen, dass nicht alle 4 Punkte in derselben Ebene liegen. Da 3 Punkte immer eine Ebene bilden, stellen wir aus den ersten drei Punkten die Ebenengleichung auf und zeigen, dass der 4-te Punkt diese Gleichung nicht erfüllt. In Parameterform lautet die Ebenengleichung:
$$\vec x=\begin{pmatrix}5\\1\\-4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1-5\\2-1\\-1+4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3-5\\3-1\\-4+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\\-4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-4\\1\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}$$
Wir berechnen daraus die Koordinatenform, weil wir die in Teil b) auch für die Höhe gut verwenden können:
$$\begin{pmatrix}-4\\1\\3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0-6\\-6-0\\-8-(-2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\-6\\-6\end{pmatrix}\quad\implies\quad\vec n=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$Wir brauchen als Normalenvektor einen, der parallel oder antiparallel zum Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene ist, daher haben wir einen möglichst einfachen gewählt.$$\vec n\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\vec n\cdot\begin{pmatrix}5\\1\\-4\end{pmatrix}\quad\implies\quad \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5\\1\\-4\end{pmatrix}\quad\implies$$$$\underline{\underline{E:\;x+y+z=2}}$$Der vierte Punkt \((2|2|2)\) erfüllt diese Koordinatengleichung offenbar nicht, denn die Summe seiner Koordinaten ist \(6\). Damit liegt der Punkt nicht in der Ebene der ersten drei Punkte und wir haben es hier mit einer Pyramide zu tun.
b) Hier müssen wir den Abstand des Punktes \((2|2|2)\) von der Ebene \(E\) bestimmen. Dazu wählen wir einen beliebigen Punkt der Ebene, etwa \((5|1|-4)\), bilden den Vektor von diesem zum Punkt \((2|2|2)\) und projezieren diesen Vektor auf den Normalenvektor der Ebene:
$$h=\left|\frac{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2-5\\2-1\\2-(-4)\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right\|}\right|=\frac{1}{\sqrt3}\left|\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3\\1\\6\end{pmatrix}\right|=\frac{4}{\sqrt3}=\frac{4}{3}\,\sqrt3$$
