Zeige, dass ϕ diagonalisierbar ist wenn V eine lineare abbildung ist

Question

Aufgabe: Es seien V ein endlichdimensionaler Q-Vektorraum und ϕ : V → V eine lineare
Abbildung mit ϕ ◦ ϕ = idV . Zeige, dass ϕ diagonalisierbar ist und ±1 die einzig möglichen
Eigenwerte von ϕ sind.

Wissen:

diagonalsierbar ist etwas wenn es eine basis von eigenvektoren gibt. wie bekomm ich jedoch die eigenvektoren heraus

Answer 1

Eigenvektoren sind solche v ≠ 0 für die es ein k ( Das ist der Eigenwert)

gibt mit ϕ(v) = k*v

Wegen  ϕ ◦ ϕ = idV gilt hier  (ϕ ◦ ϕ)(v)  = v für alle v ∈ V

Wenn nun k ein Eigenwert und v ein Eigenvektor dazu ist gilt

  v =   ϕ(ϕ(v))  = ϕ (k*v)   wegen Linearität dann

                 =k* ϕ(v)     wegen ϕ(v) = k*v also

                 = k* k*v also kurz

v = k² * v  und da v≠ 0 also k=1 oder k=-1.

Comments

Und was wäre dann die antwort zum diagonalisierbar also was wäre dann die basis

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Wegen ϕ ◦ ϕ = idV gilt hier (ϕ ◦ ϕ)(v)  = v für alle v ∈ V. Warum gilt das den ?

Answer 2

Hallo,

ich ergänze mal die Antwort im Hinblick auf die Diagonalisierbarkeit: Sei U der Eigenraum zum Eigenwert 1 und W der Eigenraum zum Eigenwert -1. Dann gilt: $V=U \oplus W$. Damit kann man Basen für U und W zu einer kompletten Basis aus Eigenvektoren zusammenstellen.

Zur Behauptung:

$$\forall x \in V: \quad x=u+w \text{ mit }u:=0.5(x+Px), w:=0.5(x-Px)$$

In der Tat ist $u \in U$; denn $Pu=0.5(Px+P \circ Px)=u$; und $w \in W$, denn $w=0.5(Px-P \circ Px)=-w$. Und natürlich ist der Durchschnitt von U und W der Null-Raum.

Gruß

Comments

Ich verstehe den schritt zur behauptung nicht

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Was meinst Du damit genau? Welche Zeile?

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Ich hätte dazu auch eine Frage woher kommen die 0,5

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Zur Behauptung:

$$\forall x \in V: \quad x=u+w \text{ mit }u:=0.5(x+Px), w:=0.5(x-Px)$$

In der Tat ist $u \in U$; denn $Pu=0.5(Px+P \circ Px)=u$; und $w \in W$, denn $w=0.5(Px-P \circ Px)=-w$. Und natürlich ist der Durchschnitt von U und W der Null-Raum.

Das verstehe ich komplett nicht

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Ich hätte dazu auch eine Frage woher kommen die 0,5

Kommt darauf an, wie Du die Frage meinst.

- Für den Beweis ist sie unerheblich: Ich definiere u und w und damit klappt's - fertig.

- Wie bin ich drauf gekommen? Wir suchen u und w mit

$$x=u+w$$

Wendet man darauf P an:

$$Px=Pu+Pw=u-w$

Diese beiden Gleichungen kann man nach u und w auflösen.

Gruß

Das verstehe ich komplett nicht

Da weiß ich ehrlich gesagt nicht, was ich erklären soll: Ist Dir klar, was die Behauptung $V=U+W$ bedeutet? Nämlich was?

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Was ist P nochmal.

Ja V ist der Vektorraum in dem die axiome gilten

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Mit p ist wahrscheinlich polynome gemeint. Aber warum wenden wir einfach polynome an. Ich versteh den gedankengang nicht

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Ich habe einfach nur P statt Phi = $\Phi$ geschrieben.

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Könntest du mir den rechenweg von p(x) erklären wie du von der Px aud diese Pu kommst

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Also ich komme auf die Gleichung P(u)= P(x) + P(w) und ab da versteh ich den Gedankenschritt wie man dann auf P(u)= (P(x)+ P * P(x))

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u ist definiert, als

$$u=0.5(x+Px)$$

Wendet man darauf die lineare Abbildung P an, erhält man:

$$Pu=0.5(Px+P \circ Px)$$

Gruß

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Okay und warum ist u einfach so definiert also bestimmen wie das einfach selbst oder von wo wissen wir das

Und vielen dank das du mir das so erklärst weil ich brauch das für nh Prüfung morgen deshalb frag ich so detailliert

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von wo wissen wir das

Die Ausgangsfrage war: Ist P diagonalisierbar?. Ein Weg, dieser Frage zu beantworten, ist zu zeigen, dass sich aus den Eigenvektoren eine Basis für V bestimmen lässt. Dafür zeige ich: $V=U+W$ (Bezeichnungen wie oben)  Da wiederum bedeutet: Jedes $x \in V$ lässt sich als Summe $x=u+w$ mit $u \in U, w \in W$ darstellen.

Um diese u,w in Abhängigkeit von x zu bestimmen, stelle ich das Gleichungssystem

$$x=u+w$$ $$Px=Pu+Pw=u-w$$

und löse dies nach u und w auf....

Gruß

PS Wenn Du morgen eine Prüfung dazu hast: Es könnte sein, dass eine ganz andere Lösung von Dir erwartet wird. Nämlich die Verwendung des Minimalpolynoms zu dieser Abbildung P; dieses ist $M(t)=t^2-1=(t-1)(t+1)$ - wenn Ihr das besprochen habt.

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ne minimalpolynom hatten wir noch net. Könntest du mir schritt für Schritt erklären wie du es auflöst. also wir haben Px = Pu + Pw = u -w und wie genau lös ich das auf damit deine gleichung herauskommt.

Ich weiß das es Voraussetzung des Mathestudiums ist gleichungen aufzulösen aber ich komm gerade einfach nicht darauf

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Du löst das Gleichungssystem

$$u+w=x$$ $$u-w=Px$$

auf, indem Du zunächst beide Gleichungen addierst .....

Gruß

PS: Muss jetzt weg

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wenn ich beide gleichungen addiere komme ich auf 2 u = x + p(x)

und dann tue ich das ganze durch 2 teilen dann hab ich u = 0,5 (x + p(x)) und das ganze dann mal phi wenn ich richtig verstehe dann hab ich Pu= 0,5 ( P(x) + p * P(x)) und das ganze dann auch bei w machen dann hab ich die abhängigkeit gezeogt und habe gezeigt das aus den eigenvektoren eine basis für V bestimmen lässt und somit ist das ganze diagonalisierbar

Hab ich das jetzt richtig verstanden

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wenn ich aber p(w) berrechne bekomme ich 0,5*(px + p * px) heraus und nicht 0,5*(px - p * px)