Zeigen Sie dass folgende Gleichung gilt: sin z = -i sinh(iz)

Question

Zeigen sie dass gilt : sin z = -i sinh(iz)

bitte mit erklärung

Answer 1

Hier kann man über die komplexe Definition von Sinus und Sinus Hyperbolicus mit e-Funktionen gehen.

$$ \begin{array} { l } { \sin ( z ) = \frac { e ^ { i z } - e ^ { - i z } } { 2 i } } \\ { \sinh ( z ) = \frac { e ^ { z } - e ^ { - z } } { 2 } } \end{array} \\ \Rightarrow - i \sinh ( i z ) = - i \frac { e ^ { i z } - e ^ { - i z } } { 2 } = \frac { e ^ { k } - e ^ { - k } } { 2 i } = \sin ( z ) $$

Im vorletzten Schritt habe ich noch

1/i = -i

ausgenutzt.

Das lässt sich wie folgt zeigen:
1/i = i/(i²) = i/(-1) = -i