Dimension eines Vektors - grafische Interpretation

Question

Erkennen der grafischen Dimension eines Vektorraums. Allgemein definiert sich die Dimension so: Die Dimension sei die Menge der linear unabhängigen Basisvektoren, um eine Dimension im R^(n) aufzuspannen. Hierzu meine Frage - da dies bei mir schon für ziemlich Verwirrung gesorgt hat.

0- Dimensional: (0,0) = Nullvektor && ist quasi ein Punkt, dafür brauche ich aber einen x,y Wert => dafür brauche ich einen Vektor aus dem R^(2) - R^(2) ist die Dimension 2. Wenn die Dimension der 2. Dimension besteht aus {(1,0) (0,1)} der kanonischen Basis und ich einen Punkt z.B. (100, 50) darstellen will, dann benötige ich doch beide Vektoren der 2. Dimension, ((1,0) * 100 + (0,1) * 100) - könnte quasi mit dem Rang ermitteln, dass die Matrix nur 0- Dimensional ist (aber prinzipiell nehme ich 2 unabhängige Vektoren aus der 2. Dimension, um die erste Dimension zu erzeugen - sofern (x != y) ?

1 - Dimensional: ich erweitere den Punkt (0,0) + [{1,1} *x ] zum Widerspruch von 0 Dimensionalen wären die beiden ja linear unabhängig (könnte man für x 0 einsetzen?)

2 - Dimensional: Hierzu brauche ich 2 unabhängige Vektoren aus der Dimensionhülle der 2. Dimension? Sonst würden die Vektoren zusammenfallen - wenn ich z.B. nehme (1,1) (2,2), dann hätte ich keine Fläche aufgespannt und die Matrix hätte die Form ((x1,y1)(x2,y2)) (1,1) (5,1) wäre dagegen linear unabhängig und somit eine Fläche

3 - Dimensional: Ist mir erklärt worden, dass ich quasi nur 2 unabhängige Spaltenvektoren benötige? d.h. man könnte die Dritte Dimension genauso gut, mit 2 Vektoren darstellen,- welche Dimension hätte dann z.B. der Vektor (1,2,3) - ist quasi ein Punkt im 3-Dimensionalen Raum (d.h. 1 Dimensional?, weil der Rang = 1 ist, ich 2 und 3 durch 1 subtrahieren kann - das wäre aber = 1 dimensional, ein Punkt ist aber 0-Dimensional? - das wäre aber wieder wiedersprüchlich zu 1, wenn ich z.B. einen Punkt (10, 50) habe, dann kann ich den Rang bestimmen = 1, ein Punkt ist aber 1 Dimensional (wenn ich (10, 50) als Gerade einzeichne, (als Ortsvektor von (0,0)), wie stelle ich dann einen Punkt dar, oder repräsentiert die 0. Dimension nur der Nullvektor?)

Vielen Dank schon mal :)

Answer 1

Die Dimension ist (im endlichen Fall) immer die Anzahl der Elemente einer Basis

des Vektorraumes.

"Anschaulich" geht das höchstens was bis zur Dimension 3.

Etwa die Menge \( U =  \left\{\begin{pmatrix} x\\x\\x \end{pmatrix} | x\in \mathbb{R} \right\} \) bildet

einen Untervektorraum von ℝ^3 .

Eine Basis besteht aus einem einzigen Vektor ( z.B. \( \vec{x}= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}  \) )

denn alle Elemente von U sind Vielfache von \( \vec{x}= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}  \) und da

\( \vec{x} \neq 0 \) ist er auch lin. unabhängig.

Und anschaulich passt das auch: Wenn man U in einem 3-dim Koordinatensystem einzeichnet,

gibt es eine Gerade, also was 1-dimensionales.

0-dimensional ist nur der 0-Raum, also quasi der 0-Punkt und

2-dimensional wäre z.B. sowas wie \( U =  \left\{\begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix} | x,y \in \mathbb{R} \right\} \)  die  xy-Ebene und Ebenen sind ja auch anschaulich auch 2-dim.

Eine Basis bilden  hier z.B. \(  \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}  \) und \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}  \).

Comments

Vielen Dank :) Wenn es keine 0.te Dimension außer dem Nullvektor gibt - würde das auf jeden Fall einiges erklären :) sobald ich z.B. (2,1) festlege (was unserer Anschauung nach eigentlich 0 Dimensional ist, ein Punkt im Koordinatensystem), bin ich durch festgelegte vektorielle Größen sofort im 1 - Dimensionalen Raum, es kann also keinen Punkt geben, außerdem dem Nullvektor

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Was unserer Anschauung wohl mehr entspricht

sind die affinen Räume. Etwa dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Affiner_Unterraum#Anschauliche_Betrachtung

Dann sind auch alle Punkte 0-dimensionale affine Räume.

Answer 2

Dimension eines Vektors

Gibt es nicht.

Es gibt die Dimension eines Raumes. Vereinfacht ausgedrückt ist die Dimension eines Raumes die Anzahl der Richtungen in die man sich bewegen können muss um jeden Punkt des Raumes erreichen zu können.

0- Dimensional: (0,0)

Wenn der Raum nur aus einem einzigen Punkt besteht, dann braucht man sich nicht zu bewegen um jeden Punkt des Raumes zu erreichen. Man braucht also keine Richtungen und die Dimension ist 0.

1 - Dimensional: ich erweitere den Punkt (0,0) + [{1,1} *x ]

Es gibt eine Richtung, nämlich {1,1}. Das x gibt an, wie weit man sich in diese Richtung bewegt. Der Summand (0,0) gibt an, wo man losgegangen ist.

2 - Dimensional: Hierzu brauche ich 2 unabhängige Vektoren

Ja.

Dimensionhülle der 2. Dimension

Ich weiß nicht was du damit meinst.

wenn ich z.B. nehme (1,1) (2,2), dann hätte ich keine Fläche aufgespannt

Richtig. die zwei Vektoren zeigen in die gleiche Richtung, nur das der eine etwas länger als der andere ist.

die Matrix hätte die Form

Ich weiß nicht welche Matrix du meinst.

(1,1) (5,1) wäre dagegen linear unabhängig

Ja.

3 - Dimensional: Ist mir erklärt worden, dass ich quasi nur 2 unabhängige Spaltenvektoren benötige?

Wozu benötigst du die?

Um einen dreidimensionalen Raum aufzuspannen brauchst du drei Vektoren.

welche Dimension hätte dann z.B. der Vektor (1,2,3)

Wie gesagt, Vektoren haben keine Dimension.

ein Punkt ist aber 0-Dimensional

Ein Raum, der nur aus einem einzigen Punkt besteht, ist 0-dimensional.

Answer 3

Aloha :)

Die Physiker haben ein, wie ich finde, treffenderes Verständnis von einer Dimension. In der Physik spricht man von sog. "Freiheitsgraden".

Wenn dein Raum nur aus dem Nullpunkt besteht, kannst du deine Position im Raum nicht verändern, du kannst keine Richtung wählen, in die du gehen könntest, du hast 0 Freiheitsgrade. Zwar brauchst du zur Beschreibung des Punktes Koordinaten \((x_1|x_2|\cdots x_n)=(0|0|\cdots|0)\), aber du bist durch äußere Zwänge an diesen Punkt gebunden und hast keine Chance, deinen Aufenthaltsort zu wählen.

Wenn dein Raum eine Dimension hat, hast du eine Richtung entlang der du dich bewegen kannst, und zwar nach vorne (positive Vielfache der Richtung) oder nach hinten (negative Vielfache der Richtung). Du hast also einen Freiheitsgrad, sprich eine Dimension. Da dein möglicher Bewegungsvektor fest ist (nur die Schrittweite kannst du wählen), befindest du dich auf einer Geraden, also in einem 1-dimensionalen Raum.

Bei 2 möglichen Richtungen, hast du 2 Freiheitsgrade und daher 2 feste Richtungen entlang derer du deine Schrittweite jeweils frei wählen kannst. Du befindest dich nun auf einer Ebene, also in einem 2-dimensionalen Raum.

Das Spiel kann man beliebig weit fortsetzen. Die entscheidende Idee ist, dass jede Dimension eine skalare Variable bedeutet, die du frei wählen kannst (etwa die Schrittweite entlang eines Basisvektors, ein Winkel, eine Temperatur...).

Comments

Vielen Dank :) Was mich nur leider irritiert, ich könnte mit einem Vektor keine 0.te Dimension angeben, also einfach einen Punkt - und eben das Problem, dass wenn ich genug Koordinaten angeben kann, um einen Punkt festzulegen, z.B. im dreidimensionalen Raum (1,1,1) -> ist die Frage, ob das dann (eigentlich logisch - nur ich bin mir nicht ganz sicher) einen Punkt nennt - anschaulich, wie du es erkärt hast, kann ich mich mit diesen Informationen in keine Richtung bewegen).

Und ja normalerweise gibt man einem Punkt z.B. im 2-dimensionalen Raum Koordinaten (2,1) z.B., wenn man (2,1) vektoriell erfasst hat man aber eine Richtung und ist durch die eigentlich 0.te festgelegte (Dimension) trotzdem in der 1. Dimension -> folglich bestünde die 0.te Dimension nur aus dem Nullvektor und (1,1,1) wäre eine Gerade im 3 Dimensionalen Raum; nehme ich (0,1,1) dazu hätte ich eine Fläche (zwei Freiheitsgrade) und um die 3. Dimension aufzuspannen noch (1,1,0) - mir wurde aber einmal erklärt, um den 3-Dimensionalen Raum aufzuspannen benötigt man lediglich 2 unabhängige Vektoren des R3 (was mich ziemlich verwirrt hat)

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Der Punkt existiert auch ohne Koordinatensystem. Dem Punkt ist es egal, welches Hilfsmittel du als Beobachter verwendest, um ihn näher zu beschreiben. Mein Physik-Prof. hat immer gesagt: "Dem Mond ist es egal, ob ihn die Wölfe anheulen." Ein Koordinatensystem ist nur für dich als Beobachter nützlich, um die Lage des Punktes in einem größeren Zusammenhang zu beschreiben. Du bist sozusagen ein höher-dimensionales Wesen und kannst aus Sicht von mehr Dimensionen auf den Punkt schauen. In dem Moment, wo du dem Punkt Koordinaten zuweist, legst du ein Bezugssystem fest und definierst für dich entsprechende Basis-Vektoren, nämlich die Koordinatenachsen.

Um einen 3-dimensionalen Raum aufzuspannen brauchst du 3 Freiheitsgrade. Bei einem geometrischen Raum also 3 Basis-Vektoren entlang derer du jeweils die Schrittweite (eine skalare Größe) frei wählen kannst. 2 Vektoren reichen dafür nicht aus.