Basen so ändern, dass die Abbildungsmatrix nur aus Einträgen gleich 0 oder 2 bestehen

Question

Aufgabe:

Sei f: ℝ³ → ℝ², (x1 x2 x3)^T ↦((x1-x2) (x1+x2))^T

B = ( (1 0 0)^T (1 1 0)^T (1 1 1)^T) und C = ((1 1)^T (1 0)^T

Zuerst musste man die Abbildungsmatrix von B nach C berechnen.

Das habe ich bereits getan und und mit der Lösung verglichen, also sollte sie richtig sein:

A^B_C =

1	1	2
0	-1	-2

Der zweite Teil der Aufgabe heißt jetzt:

Bestimme Basen B‘ und C‘ von ℝ³ bzw. ℝ⁴, so dass alle Einträge von A^B‘_C‘ gleich 0 oder 2 sind

Problem/Ansatz:

Ich könnte natürlich für jeden Eintrag einzeln schauen um diesen zu ändern, also rückverfolgen

Z.B. ist der erste Eintrag der Darstellungsmatrix  (1 0)^T. Die 1 möchte ich allerdings nicht haben. Warum habe ich dort die 1? Zum einen, weil die erste spalte von C nur aus Einsen besteht und zum anderen weil ich in der ersten Spalte von B (1 0 0)^T habe. Dann müsste ich schauen was ich wie ändern kann, so dass ich nur 0 und 2 Einträge habe. Das wird aber schnell unübersichtlich und dauert auch viel zu lang.

Deswegen wollte ich mal nachfragen ob es ein einfacheres Verfahren gibt, vielleicht eine Art Algorithmus

Answer 1

Nimm doch für C die Standardbasis, dann sind die Spalten der

Abbildungsmatrix ja genau

die Bilder der Basisvektoren. Und

jetzt musst du die Basisvektoren von B halt so wählen,

dass deren Bilder nur 0en und 2en

enthalten . statt (1 , 0,0 ) T würde es mit (2,0,0)

schon mal klappen.

Und ( 1,1,0) ^T als zweiter würde auch passen.

Der dritte muss von denen linear unabhängig sein und

in der 3. Komponente ungleich 0 sein. Klappt

z.B. mit (2;0;1)^T . rechne mal vorsichtshalber nach.

Comments

Mir fiel gerade auf, dass ich mich vertippt habe, die Abbildung lautet eigentlich (x1 x2 x3)^T ↦ ((x1-x2) (x1+x3))^T , also in der 2. Zeile bei der Addition muss x3 statt x2 stehen.

Mit deinem Vorgehen komme ich auf B‘ = ((2 0 0) (1 1 1) (2 2 0))^T

Danke für deine Antwort :)

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Allerdings hat meine Abbildungsmatrix dann zwei identische Spalten. Ist das irgendwie schlimm?

Ich erhalte dann nämlich

0	2	0
2	2	2

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Kein Problem, Abbildung von R^3 nach R^2 kann ja eh

nicht injektiv sein.