Aufgabe:
1. Lösungen linearer Gleichungssysteme
5 Punkte
Es sei \( A \in \mathbb{R}^{n \times m} \) eine Matrix, die genutzt wird um das lineare Gleichungssystem \( A x=b \) zu notieren.
Antworten:
Gilt \( m=n \) und \( \operatorname{det} A \neq 0 \) so kann das Gleichungssystem eindeutig gelöst werden.
Zu \( A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 8 & 0 & 0\end{array}\right] \) und \( b=\left(\begin{array}{l}6 \\ 2 \\ 8\end{array}\right) \) ist \( x=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \) eine Lösung des linearen Gleichungssystems.
Lösungen zu einem \( b \) errechnet man durch \( x=A^{-1} b \)
Zu \( A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] \) und \( b=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \) sind alle Elemente der Menge \( M=\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+\alpha\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) \mid \alpha \in \mathbb{R}\right\} \) Lōsungen des linearen Gleichungssystem \( A x=b \)
Es gilt \( \operatorname{dim} \operatorname{ran} A+\operatorname{dim} \) ker \( A=m+n \).
