f(x)=18*e^((-1/200)(t-26)^2) ableiten

Question

f(x)=18*e^((-1/200)(t-26)^2)
mann muss ja den Exponenten ableiten und die Ableitung dann davor schreiben

also ich habe nun -1/200 ( t-26)^2 abgeleitet

erstmal ausklammern: -1/200t^2+3.38
Die Ableitung davon müsste -1/100t sein

=> Ableitung d. e-Fkt.: -1/100t*18 * e^((-1/200)(t-26)^2)

allerdings lautet die richtige Ableitung f'(t)= -0.18 (t-26) * e^((-1/200)(t-26)^2)

was mache ich denn falsch?

Answer 1

Aloha :)

Hier musst du die Kettenregel zwei Mal anwenden:

$$f'(x)=\left(18\,e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2}\right)'=\underbrace{18\,e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{\left(-\frac{1}{200}(t-26)^2\right)'}_{=\text{innere}}$$$$\phantom{f'(x)}=18\,e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2}\cdot\left(-\frac{1}{200}\underbrace{2(t-26)}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{1}_{=\text{innere}}\right)=18\,e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2}\cdot\left(-\frac{t-26}{100}\right)$$$$\phantom{f'(x)}=-\frac{9}{50}\,e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2}(t-26)$$

Comments

woran erkennt man, dass man die Kettenregel anwenden muss? ich habe die immer nur für den Exponenten der e-Funktion verwendet, also um das hals "runter" zu bringen...wusste gar nicht, dass sie auch so sonst verwendet wird

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Die Kettenregel kann immer angewendet werden, wenn Funktionen hintereinander ausgeführt werden. Hier haben wir zwei Funktion:$$(t-26)^2\to t-26 \to (\cdots)^2$$Die erste Funktion ist \(f_1(t)=t-26\). die zweite Funktion ist \(f_2(x)=x^2\). Wenn du darin \(x=f_1(t)\) einsetzt erkennst du die Verschachtelung.

Du hättest natürlich auch \((t-26)^2=t^2-52t+26^2\) ausrechnen können und das Ergebnis dann ableiten können.