Darstellungsmatrix berechnen mit Basis B und C

Question

a) Seien \( U, V \) und \( W \) reelle Vektorräume mit Basen \( B=\left\{u_{1}, u_{2}\right\}, C=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} \) und \( F=\left\{w_{1}, w_{2}\right\} . \) Mit:

\( \alpha\left(u_{1}\right)=v_{1}+v_{2}, \quad \alpha\left(u_{2}\right)=v_{1}+v_{3} \)

(i) Geben Sie für \( \alpha \) und \( \beta \) jeweils die Darstellungsmatrix \( D_{C, B}(\alpha) \) bzw. \( D_{F, C}(\beta) \) bezüglich der Basen \( B, C \) bzw. \( F \) an.

Es geht mir um die Darstellungsmatrix \( D_{C, B}(\alpha) \) .

ich habe bereits "umgeformt" so dass die Basis C in die Basis B abgebildet wird d.h.

( v₁, v₂, v₃) -> (v₁+v₂, v₁+v₃)

nun hänge ich an der Berechnung der Bilder von α, welche Vektoren muss ich für (v1,v2,v3) einsetzen?

Answer 1

α: U → V also musst du die Bilder von u1 und u3 bestimmen.

Die sind gegeben: \( \alpha\left(u_{1}\right)=v_{1}+v_{2}, \quad \alpha\left(u_{2}\right)=v_{1}+v_{3} \)

ausführlich geschrieben

\( \alpha\left(u_{1}\right)=1*v_{1}+1*v_{2}+0*v_3, \quad \alpha\left(u_{2}\right)=1*v_{1}+0*v_2+1*v_{3} \)

also ist die Matrix

1   1
1   0
0   1