Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für n \geq 0 gilt a_{n}=2^{n}+4 n-1 .

Question

Text erkannt:

Aufgabe
2:
Sei \( a_{0}=0, a_{1}=5 \) und für \( n>0 \) sei \( a_{n+2}=3 a_{n+1}-2 a_{n}-4 \)
Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für \( n \geq 0 \) gilt \( a_{n}=2^{n}+4 n-1 \).

Aufgabe:

vollständige Induktion

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte die Lösung zu dieser Aufgabe wäre sehr nett danke!

Answer 1

Zu zeigen: a_n+1=2ⁿ⁺¹+4(n+1)-1 oder a_n+1=2ⁿ⁺¹+4n+3

Es gilt (1) a_n+1=3a_n-2a_n-1-4

und    (2) a_n=2ⁿ+4n-1

sowie a_n-2=2^n-1+4(n-1)-1 oder (3) a_n-2=2^n-1+4n - 5

(2) und (3) in (1) eingesetzt:

a_n+1=3(2ⁿ-4n-1)-2(2^n-1+4n-5)-4

a_n+1=3·2ⁿ+12n - 2ⁿ-8n+10 - 4 also

a_n+1=2ⁿ⁺¹+4n+3 w,z,z,w.