Funktion Polstelle und Stetigkeit

Question

Ich habe eine Verständnisfrage:

Sind Funktionen, die für ein x ist Element Definitionsbereich eine Polstelle haben zwingend unstetig ?

Also ich verstehe, dass wenn wir zum Beispiel f mit f(x)=1/x mit Definitionsbereich ohne 0 betrachten, die Funktion stetig ist. Logisch, denn wir betrachten die Polstelle ja gar nicht. Aber für f mit f(x)=1/x^2 und Definitionsbereich Menge aller reellen Zahlen geht die Funktion ja beim Grenzwert für x=0 gegen +oo. Für links-und rechtsseitigen Grenzwert. Ist die Funktion dann trotzdem unstetig, weil es kein f(0) gibt ?

Danke für die Hilfe.

Answer 1

mit f(x)=1/x² und Definitionsbereich Menge aller reellen Zahlen

Das ist nicht möglich.

1/x² ist für x = 0 nicht definiert, also kann 0 nicht zum Definitionsbereich gehören.

Ist die Funktion dann trotzdem unstetig, weil es kein f(0) gibt ?

Die Funktion

      \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto\frac{1}{x^2}\)

ist nicht wohldefiniert, weil es kein \(f(0)\) gibt. Die Funktion

        \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto\begin{cases}\frac{1}{x^2}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}\)

ist unstetig, weil es \(g(0)\) gibt. Die Funktion

        \(h:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R},x\mapsto\frac{1}{x^2}\)

ist stetig, weil es kein \(h(0)\) gibt.