Berechne die Determinante der Matrix A. Wo ist mein Fehler?

Question

Aufgabe:

Berechne die Determinante von A

Problem/Ansatz:

Ein Klassiker. Ich sollte in der Aufgabe die Determinante von A berechnen. a,b sind ∈ ℂ, i genauso (die imaginäre Zahl). In der Lösung der Aufgabe wurde die Determinante nach dem "Auflösen nach der Spalte- Verfahren" berechnet. Ich fand das sehr zeitintensiv und dachte, dass es da einen einfachen Weg gäbe. Mein Ziel war es die Matrix A in eine Matrix mit oberer Dreiecksform A' zu bringen. Die Determinante dieser Matrix ergibt sich ja einfach durch Multiplizieren der Einträge auf der Diagonalen. Bei Zeilentausch verändert sich ja das Vorzeichen der Determinante, bei Multiplikation einer Zeile mit dem Faktor k  verändert sich die Determinante um den Faktor k. Das habe ich berücksichtigt. Trotzdem ist mein Ergebnis nicht dasselbe wie in der Musterlösung. Habe es jetzt mehrmals gerechnet, aber ich finde meinen Fehler einfach nicht. Sieht jemand, was ich falsch gemacht habe?

Comments

Wie lautet denn die Musterlösung?

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Hallo,

Wenn Du eine Zeile der Matrix A mit dem Faktor s multiplizierst, dann musst Du die Determinante mit 1/s multiplizieren:

$$\det(A)=\frac{1}{s} s \det(A)=\frac{1}{s}  \det(A')$$

wobein in A' eine Zeile mit s multipliziert ist.

Gruß

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Vermutlich liegt der Fehler im Faktor \((-1)·(-1)·ab\). Du solltest nicht mit \(ab\) multiplizieren, sondern durch \(ab\) dividieren.

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Eigentlich hast du das Ergebnis fast schon nach der ersten Umformung, denn es gilt$$\left\lvert\begin{array}{cc|cc}1&a&\mathrm i&5\\a&b&2&\sqrt2\\\hline0&0&b&a\\0&0&a&b\end{array}\right\rvert=\begin{vmatrix}1&a\\a&b\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}b&a\\a&b\end{vmatrix}.$$

Answer 1

"Auflösen nach der Spalte- Verfahren" berechnet. Ich fand das sehr zeitintensiv

Wie kommst du zu dieser Einschätzung?

Zwei Werte dieser Spalte sind 0. Du musst also nicht 4, sondern nur zwei Werte mit der jeweiligen 3mal3-Unterdeterminante multiplizieren. Und selbst diese Unterdeterminanten enthalten Nullen...

Ich sehe für mich persönlich keinen Grund, deinen aufwändigeren Weg nachzuvollziehen.

Answer 2

Aloha :)

Dein erster Schritt ist super. Du vertauschst die 1-te und die 2-te Zeile und danach die 2-te und die 4-te Zeile.

$$D=\left|\begin{array}{rrrr}0 & 0 & a & b\\1 & a & 1 & 5\\0 & 0 & b & a\\a & b & 2 & \sqrt2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}1 & a & 1 & 5\\a & b & 2 & \sqrt2\\0 & 0 & b & a\\0 & 0 & a & b\end{array}\right|$$Jetzt hast du unten links 4 quadratisch angeordneten Nullen und kannst 4 Blockmatrizen bilden:

$$D=\left|\begin{array}{rr|rr}1 & a & 1 & 5\\a & b & 2 & \sqrt2\\\hline0 & 0 & b & a\\0 & 0 & a & b\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}1 & a\\a & b\end{array}\right|\cdot\left|\begin{array}{rrrr}b & a\\a & b\end{array}\right|=(b-a^2)(b^2-a^2)$$

Comments

wow, so viel Unterstützung :o Konnte tatsächlich mit allem etwas anfangen und bin jetzt auch auf die Lösung gekommen. Es lag tatsächlich daran, dass ich mit ab multipliziert habe anstatt durch ab zu teilen. Der Weg mit der Unterteilung in 4 quadratische Matrizen ist aber auch ziemlich praktisch. Den merk ich mir, wenn ich das nächste mal wieder eine Matrix mit 4 0'en in einer Ecke habe. Merci beaucoup!

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Das müssen nicht unbeding 4 Nullen sein. Wenn du aber eine Aufteilung in quadratische Blockmatrizen vornehmen kannst und die links unten oder die rechts oben nur Nullen enthalten, brauchst du einfach nur die Determinaten auf der "Hauptdiagonalen" miteinander zu multiplizieren.

Das Stichwort dazu lautet "Blockmatrizen", falls du dich damit näher beschäftigen möchtest.

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@ Tschakabumba, hab mich da falsch ausgedrückt. Meinte natürlich das was du sagst. Blockmatrizen also. Schau ich mir mal an, danke dafür nochmal :)