Können quadratische Funktionen mehr als ein Minimum haben?

Question

Aufgabe:

Können quadratische Funktionen mehr als ein Minimum haben?

Sei f:\( ℝ^{n} \)→ℝ, eine quadratische Funktion mit mehreren Dimensionen

Problem/Ansatz:

Ich bin der Meinung, dass es nicht geht, allerdings, weiß ich nicht wie ich es beweisen kann.

Ich würde sagen eine quadratische Funktion egal welcher Dimension hat entweder keins oder höchstens ein Minima.

Answer 1

Die erste Ableitung ist linear und hat folglich nur eine Nullstelle. Daher gibt es genau ein Extremum.

Answer 2

Hallo,

Roland hat eventuell übersehen, dass Du nach Funktionen mit mehreren Veränderlichen gefragt hast.

Es wäre dann noch zu klären, was Du genau unter einer quadratischen Funktion in mehreren Veränderlichen verstehst. Vielleicht hat sich das aber auch schon mit folgendem Beispiel erledigt:

$$f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, f(x,y):=x^2$$

Hier sind alle Punkte (0,y) Minima.

Gruß

Comments

Hallo Peter,

ich verstehe unter einer quadrtaischen Funktion mit mehreren Dimensionen so etwas wie:

\(f:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}, f(x,y,z,a):=x^2+y^2-z+3a\)

also, dass die höchste Potenz 2 beträgt.

Aber aus deinem Beispiel folgt es gibt quadratische Funktionen mit undendlich vielen lokalen Minima?

Da man jede Beliebige Zahl in ℝ einsetzen kann?

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.. also, dass die höchste Potenz 2 beträgt

Die höchste Potenz mindestens einer Koordinate oder jeder Koordinate. IMHO ist das der entscheidende Unterschied.

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Diese Funktion

\(f:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}, f(x,y,z,a):=x^2+y^2-z+3a\)

hat IMHO überhaupt keinen lokalen Extrempunkt

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Woran liegt das?

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Woran liegt das?

leite die Funktion doch ab:$$\frac{\text d f}{\text d(x,y,z,a)} = \begin{pmatrix} 2x\\ 2y\\ -1\\ 3 \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$$Die Ableitung bekommt man nie auf den Nullvektor.

Answer 3

Quadrat. Funktionen haben als Parabeln nur einen Scheitel.

Answer 4

Hallo,

wie sieht denn so eine 'quadratische Funktion' im mehrdimensionalen aus? Vielleicht so$$f(x) = x^2 + bx + c, \quad x,b \in \mathbb R^n, \space c \in \mathbb R$$das könnte man nun noch mit einem konstanten Faktor multiplizieren, dass ändern aber nichts an der Existenz eines Extrempunkts. Die Lage des Extrempunkts \(x_e\) ist$$x_e = -\frac 12 b $$und das ist eindeutig. Um das zu belegen, substituiere ich $$x = - \frac 12 b + \Delta$$und setze das in \(f\) ein:$$\begin{aligned} f(\Delta) &= \left(- \frac 12 b + \Delta\right)^2 + b\left(- \frac 12 b + \Delta\right) + c \\&= \frac 14b - b\Delta + \Delta^2  - \frac 12 b^2 + b\Delta + c \\&= -\frac 14b^2 + c + \Delta^2 \end{aligned}$$D.h. \(f\) ändert sich nur mit dem \(\Delta^2\) und das ist erstens immer positiv und zweitens =0 für \(\Delta=0\). (siehe Definition Skalarprodukt -> positiv definit)

Folglich ist \(x_e\) der einzige Extrempunkt.