Aufgabe 3:
Sei \( M:=(a+b \cdot \sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q}) \backslash(0) \) als Teilmenge von \( \mathbb{R} \) gegeben. Die Elemente von \( \mathrm{M} \) werden bzgl. der Multiplikation in \( \mathbb{R} \) miteinander verknüpft.
a) Welches Element von M ergibt die Verknüpfung \( (2+1 \cdot \sqrt{2}) \cdot(3+2 \cdot \sqrt{2}) \) ?
b) Zeigen Sie, dass eine innere Verknüpfung vorliegt, d. h., dass M bzgl. der Multiplikation abgeschlossen ist. Sie dürfen bei Ihrem Beweis benutzen, dass das Produkt zweier reeller Zahlen nur 0 sein kann, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.
c) Man kann sich überlegen, dass zu jedem Element \( \quad z=a+b \cdot \sqrt{2} \in M \) das Element \( w=\frac{a}{a^{2}-2 b^{2}}+\frac{-b}{a^{2}-2 b^{2}} \cdot \sqrt{2} \in M \) existiert (das müssen Sie \underline{nicht zeigen } ) . \underlineeigen Sie, dass w zu z invers ist.
d) Folgern Sie unter Verwendung von \( \mathrm{b} \) ) und \( \mathrm{c} \) ), dass \( (M, \cdot) \) eine Untergruppe von \( (\mathbb{R}, \cdot) \) ist.
Das ist eine Aufgabe die wir bekommen haben. Leider ohne Lösung an der ich wenigstens erkennen könnte was ich eigentlich machen soll. Wichtig wäre mir hier vorallem Aufgabe a weil ich mir nicht wirklich sicher bin wie ich da vorgehen soll und was gesucht ist. Was bedeutet z.B. Die Elemente von \( \mathrm{M} \) werden bzgl. der Multiplikation in \( \mathbb{R} \) miteinander verknüpft.
