Aloha :)
Ich würde dir gerne noch eine andere Methode vorstellen, um Potentiale zu berechnen. Diese ist gerade bei komplexen Feldern oft einfacher...
Wenn es ein Potential gibt, ist das Wegintegral zwischen 2 Punkten unabhängig vom gewählten Weg. Daher kannst du das Potential wie folgt bestimmen:$$V(x_0,y_0)=\int\limits_{(0|0)}^{(x_0|y_0)}\binom{8x-4\sin(4x)y}{\cos(4x)}\binom{dx}{dy}$$Als Weg gehen wir entlang der Koordinatenachsen:
$$V(x_0,y_0)=\int\limits_{(0|0)}^{(x_0|0)}\binom{8x-4\sin(4x)y}{\cos(4x)}\binom{dx}{dy}+\int\limits_{(x_0|0)}^{(x_0|y_0)}\binom{8x-4\sin(4x)y}{\cos(4x)}\binom{dx}{dy}$$
Das sieht zuerst so aus, als hätten wir nichts gewonnen. Aber im ersten Integral ist auf dem Wegstück \(y=0\) fest und ändert sich nicht \(dy=0\). Beim zweiten Integral ist auf dem Wegstück \(x=x_0\) fest und ändert sich nicht \(dx=0\). Das heißt:
$$V(x_0,y_0)=\int\limits_{(0|0)}^{(x_0|0)}\binom{8x-4\sin(4x)\cdot 0}{\cos(4x)}\binom{dx}{0}+\int\limits_{(x_0|0)}^{(x_0|y_0)}\binom{8x_0-4\sin(4x_0)y}{\cos(4x_0)}\binom{0}{dy}$$$$\phantom{V(x_0,y_0)}=\int\limits_0^{x_0}8x\,dx+\int\limits_0^{y_0}\cos(4x_0)\,dy=4x_0^2+y_0\cos(4x_0)$$
