Ableitung von e-Funktionen: f(t) = 8e^{-2t} - 4te^{-2t}

Question

Funktion ableiten:

\( f(t)=8 \times e^{-2 \times t}-4 \times t \times e^{-2 \times t} \)

Ich weiß, dass ich Produkt-und Kettenregel anwenden muss, aber wie?

Answer 1

  f ( t ) = 8 * e^{-2t} - 4 * t * e^{-2t}
  f ´( t ) = -16 * e^{-2t} -  4 (  e^{-2t} + t * e^{-2t} *(-2) )
f ´( t ) = -16 * e^{-2t} -  4 (  e^{-2t} -2* t * e^{-2t}  )
  f ´( t ) = -16 * e^{-2t} -  4 * e^{-2t} + 8* t * e^{-2t}

  mfg Georg

Answer 2

f(t) = 8*e^-2t - 4*t*e^-2t

Der erste Summand ist eine Verkettung der e-Funktion mit einer linearen, also Kettenregel:

Ableitung der Verkettung = Ableitung der äußeren Funktion mal Ableitung der Inneren:

(8*e^-2t) ' = 8* e^-2t *-2 = -16* e^-2t

e-Funktion abgeleitet ist wieder die e-Funktion und -2t abgeleitet ist -2.

Zweiter Summand: Hier ist die Verkettung noch Teil eines Produktes:

Für die Ableitung eines Produktes gilt:

Ableitung des Produktes = Ableitung Faktor 1 mal Faktor 2 + Faktor 1 mal Ableitung Faktor 2:

(- 4*t*e^-2t) ' = -4 * e^-2t + (- 4*t) * (- 2)* e^-2t = -4 * e^-2t + 8*t * e^-2t

Beides zusammensetzen:

f ' (x) = -16* e^-2t + (-4 * e^-2t + 8*t * e^-2t) = -20* e^-2t + 8t*e^-2t = e^-2t * (8t-20)

Comments

Vielen Dank für diese sehr übersichtliche Rechnung mit Vorgehensweise :D Die hat mir wirklich sehr geholfen!!!

Answer 3

\(f(t) = 8\cdot e^{-2t} - 4\cdot t \cdot e^{-2t}\)

Ausklammern von  \( e^{-2t}\)  :

\(f(t) =  e^{-2t}(8 - 4\cdot t )\)   Es gilt  \( e^{-2t}=\frac{1}{e^{2t}} \)  :

\(f(t) = \frac{8 - 4\cdot t }{e^{2t}}\)  Nun mit der Quotientenregel: \( [\frac{Z}{N}]'=\frac{Z'N-ZN'}{N^2} \)

\(f'(t) = \frac{-4e^{2t}-(8 - 4\cdot t)\cdot e^{2t} \cdot 2}{(e^{2t})^2}=\frac{-4e^{2t}-(16 - 8\cdot t)\cdot e^{2t} }{(e^{2t})^2}\)

Im Kopf  \( e^{2t}\) ausklammern und kürzen :

\(f'(t) =\frac{-4-(16 - 8\cdot t) }{e^{2t}}=\frac{8\cdot t -20}{e^{2t}}\)  

Comments

Warum nicht maximal ausklammern: 4*e^(-2t) ?

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Warum nicht maximal ausklammern: \(4 \cdot e^{-2t}\) ?

Ich finde es geschickter \(e^{-2t}\) auszuklammern, weil so nur \(e^{2t}\) ohne Faktor im Nenner erscheint.

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Der Faktor wird nur mitgeschleppt. Man könnte ihn weglassen und beim Ergebnis wieder hinzufügen. Es spielt keine Rolle während der Rechnung. Man darf ihn nur nicht vergessen.

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Wieder mal eine Antwort bei dem der Fragesteller ignoriert wird.

Ich weiß, dass ich Produkt-und Kettenregel anwenden muss, aber wie?

Vermutlich wird dort wie in den Gymnasien, die ich kenne, die e-Funktion NIE in den Nenner geschrieben und auch NIE mit der Quotientenregel abgeleitet.

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Wieder mal eine Antwort bei dem der Fragesteller ignoriert wird.

Den Fragesteller wird es nicht mehr interessieren( weil über 10 Jahre her.)

Was nun spricht gegen das Ableiten mit der Quotientenregel, wo die e-Funktion mit dabei ist?

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Ich bekomme heute noch regelmäßig Fragen zu Beiträgen, die ich vor etlichen Jahren geschrieben habe. Also nur, weil es den damaligen Fragesteller nicht mehr interessiert, interessiert es Schüler, die heutzutage nach ähnlichen Aufgaben suchen.

Natürlich ist die Ableitung über die Quotientenregel nicht verkehrt, aber eben nach Schulbüchern und Klausuren nicht üblich und daher verwirrt es denke ich nur.

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Den Fragesteller wird es nicht mehr interessieren

Das ist das Grundprinzip deiner Beiträge.

Answer 4

Zunächst würde man den gemeinsamen e-Term ausklammern und dann mit Produkt und Kettenregel ableiten.

f(t) = 8·e^(- 2·t) - 4·t·e^(- 2·t)
f(t) = e^(- 2·t)·(8 - 4·t)

f'(t) = - 2·e^(- 2·t)·(8 - 4·t) + e^(- 2·t)·(- 4)
f'(t) = e^(- 2·t)·(8·t - 20)

f''(x) = - 2·e^(- 2·t)·(8·t - 20) + e^(- 2·t)·(8)
f''(t) = e^(- 2·t)·(48 - 16·t)