Aloha :)
Wenn die \(3\) Vektoren die Dimension \(2\) haben sollen, dürfen sie kein \(3\)-dimensionales Volumen aufspannen. Das von den \(3\) Vektoren aufgespannte Volumen ist gleich der von ihnen gebildeten Determinante. Mit anderen Worten, die Determinante aus den \(3\) Vektoren muss verschwinden:
$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}1 & -1 & 0\\2 & t+1 & t\\t+2 & 1 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\2 & t+3 & t\\t+2 & t+3 & 1\end{array}\right|=(t+3)-t(t+3)=(1-t)(t+3)$$Es gibt also 2 Werte \(t=1\) und \(t=-3\), bei denen die 3 Vektoren kein Volumen aufspannen.
Aber wir dürfen aber noch nicht frohlocken, denn die Dimension soll ja gleich \(2\) sein. Wir müssen also noch sicherstellen, dass die \(3\) Vektoren nicht alle parallel oder antiparallel zueinander stehen. Das prüfen wir nach:
$$t=1\implies\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_2=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_3=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\quad\checkmark$$$$t=-3\implies\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_2=\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_3=\begin{pmatrix}0\\-3\\1\end{pmatrix}\quad\checkmark$$
Wir haben also zwei Werte für \(t\) gefunden, wo die Dimension des aufgespannten Raums gleich \(2\) ist.
