Question

Gegeben ist die Funktion mit f(x)=(x−1)^2⋅(x+1)^2.
Die Tangente im Punkt P(0;1) und der Graph von f besitzen im 1.Quadranten eine Fläche.
Bestimmen Sie deren Inhalt.

Answer 1

Nun, da muss man wohl erst mal schauen, wie die Tangente aussieht, insbesondere welche Steigung m_t sie hat, also Ableitung von f:

f ' ( x ) = [ ( x - 1 ) ² ( x + 1 ) ² ] '

= [ ( x ² - 1 ) ² ] '

= 2 x * 2 * ( x ² - 1 )

= 4 x ³ - 4 x

An der Stelle x = 0 hat f ( x ) also die Steigung:

m = f ' ( 0 ) = 0 = m_t

Die Tangente an f im Punkt ( 0 | 1 ) hat also ebenfalls die Steigung m_t  = 0 und ist daher eine parallele zur x-Achse. Ihre Gleichung lautet

t ( x ) = 1

 

Schaut man sich den Graphen von f ( x ) und t ( x ) an:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2C%28x%E2%88%921%29^2%E2%8B%85%28x%2B1%29^2

erkennt man, dass t ( x ) im ersten Quadranten zwei Schnittpunkte mit f ( x ) hat. Der erste ist der Punkt P ( 0 | 1 ), den zweiten muss man durch gleichsetzen berechnen:

f ( x ) = t ( x )

<=> ( x ² - 1 ) ² = 1

<=> ( x ² - 1 ) = ± 1

<=> x ² = 1 ± 1

<=> x = √ 0 oder x = ± √ 2

<=> x =  0 oder x = - √ 2 oder x = + √ 2

Der Punkt an der Stelle x = - √ 2 liegt nicht im ersten Quadranten (sondern im dritten), der Punkt Q ( √ 2 | 1 ) hingegen liegt im ersten Quadranten.

Beim Betrachten des Graphen erkennt man, dass t ( x ) für 0 ≤ x ≤ √ 2 größer ist als f ( x ) und das beide Funktionen in diesem Intervall ausschließlich nichtnegative Funktionswerte haben. Für den Inhalt A der gesuchten Fläche gilt daher:

A = ∫₀^{√ 2} 1 - ( x ² - 1 ) ² dx

= ∫₀^{√ 2}1 - ( x ⁴ - 2 x ² + 1 ) dx

= ∫₀^{√ 2}- x ⁴ + 2 x ² dx

= [ - ( 1 / 5 ) x ⁵ + ( 2 / 3 ) x ³ ]₀^{√ 2}

= - ( 1 / 5 ) √ ( 2 ⁵ ) + ( 2 / 3 ) √ ( 2 ³ ) - 0

≈ 0,754

Der Inhalt der beschriebenen Fläche beträgt also etwa 0 ,754 LE ².