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Aufgabe:

Ich soll prüfen, ob  mit den Matrizen sich eine korrekte Transformation von Normalen durchführen lässt


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Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} \cdot \sqrt{1} & -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} & 0 \\ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} & \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} & -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} & 0 \\ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} & \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)

Wie prüfe ich ich das?


Würde mich um Hilfe freuen. Danke

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Hallo,

was bedeutet "korrekte Transformation von Normalen"?

Gruß

sind die Aufgaben aus GCG?

1 Antwort

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Hallo,

Der Ausdruck 'korrekte Transformation von Normalen' ist unklar. Was bedeutet in dem Kontext 'korrekt'? Ich unterstelle mal, dass bei der Multiplikation zweier beliebiger zu einander orthogonaler (normal) Vektoren, die Bilder dieser Vektoren wieder orthogonal (also normal) zu einander stehen sollen.

Das ist genau dann der Fall, wenn die Spaltenvektoren der Matrix auf einander senkrecht stehen und gleich lang sind. Bei der ersten Matrix ist dies nicht der Fall, bei den beiden anderen schon.

Beispiel: die Vektoren $$\vec u = \begin{pmatrix}0\\ -1\\ 1\end{pmatrix}, \quad \vec v = \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1\end{pmatrix}, \quad \vec u^T\cdot \vec v = 0$$stehen senkrecht auf einander. Aber$$\vec u' = \begin{pmatrix}1& 0& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\ -1\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \\ \vec v' = \begin{pmatrix}1& 0& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\ 3\\ 1\end{pmatrix}$$tun es nicht!

Wie prüfe ich ich das?

Die Skalarprodukte jedes Paares von Spaltenvektoren der Matrix muss 0 sein und die Summe aller Quadrate der Koeffizienten einer Spalte muss jeweils den gleichen Wert ergeben.

Frage bitte nach, wenn irgendwas unklar ist.

Avatar von 48 k

könntest du eventuell mal zeigen wie das aussieht bei denen die dafür geeignet wären.. würde das eventuell dann besser verstehen.

könntest du eventuell mal zeigen wie das aussieht bei denen die dafür geeignet wären.

das "dafür geeignet" interpretiere ich so, dass Du eine Matrix meinst, die eine "korrekte Transformation von Normalen" gewährleistet. Nehmen wir also diese Matrix:$$\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} \cdot \sqrt{1} & -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} & 0 \\ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} & \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Das Skalarprodukt der ersten beiden Spaltenvektoren ist$$\phantom{=}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1}\\ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}\\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \\\frac{1}{2} \cdot \sqrt{1} \\ 0 \end{pmatrix} \\= -\frac 14 \sqrt 3 + \frac 14 \sqrt 3 + 0 \\ = 0$$heißt, dass die ersten beiden Spaltenvektoren senkrecht auf einander stehen. Das Skalarprodukt des ersten oder zweiten mit dem dritten Spaltenvektor gibt ebenfalls 0, da in jedem Paar in jeder Zeile (bzw. Dimension) dann eine der Koordinaten =0 ist.

Die Länge des ersten Spaltenvektors ist$$\phantom{=} \left| \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1}\\ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}\\ 0 \end{pmatrix}\right| \\= \sqrt{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{1} \right)^2 + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \right)^2 + 0^2} \\ =\sqrt{\frac 14 + \frac 34 + 0} \\= \sqrt{1} = 1$$der zweite und dritte Spaltenvektor hat ebenso die Länge 1.

Damit sind alle Vektoren gleich lang und stehen senkrecht auf einander. Und da die Länge der Vektoren auch noch \(=1\) ist, ist es auch eine orthogonale Matrix. Und die ist auch winkeltreu.

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