Zeige, dass sich die Länge der Hypotenuse folgendermaßen in Abhängigkeit von x darstellen lässt: BC= √ 2x²-4x+52cm.

Question

Aufgabe:

Ein rechtwinkliges Dreieck ABC hat die Kathetenlängen AB= 4 cm und AC= 6cm. Es entstehen neue Dreiecke ABC, wenn man die kürzere Khatete um x cm verlängert und gleichzeitig die längere Khatete um x cm verkürzt.

Problem/Ansatz:

a) Zeige, dass sich die Länge der Hypotenuse folgendermaßen in Abhängigkeit von x darstellen lässt: BC= √ 2x²-4x+52cm.

b) Für welche Belegung von x wird die Hypotenusenlänge BC minimal? Berechne BC.

Answer 1

Mit Pythagoras

(4+x)^2 + ( 6-x)^2 = BC^2

<=>  x^2 + 8x + 16  + 36 - 12x + x^2 = BC^2

<=>  2x^2 - 4x + 52 = BC^2

und dann die Wurzel ziehen.

minimal wird BC, wenn das, was in der Wurzel steht, minimal wird.

Das ist f(x) =  2x^2 - 4x + 52   also

f ' (x) = 4x - 4   und das ist 0 für x=1 .