Wert z angeben dass Funktion stetig ist.

Question

Gegeben ist folgende Funktion f: ℝ₊ → ℝ:

f(x)= \( \frac{1-\sqrt{x}}{x-1} \) für x≠1

      z für x=1

Nun soll der Wert z so angegeben werden, dass die Funktion f(x) auf ganz ℝ₊ stetig ist.

HILFE! Ich habe keine Ahnung wie man da dran geht. Ich bedanke mich für jegliche Lösung!

Answer 1

Aloha :)

Ich würde im Nenner die dritte binomische Formel anwenden und den Bruch kürzen:$$f(x)=\frac{1-\sqrt x}{x-1}=-\frac{1-\sqrt x}{1-x}=-\frac{1-\sqrt x}{(1-\sqrt x)(1+\sqrt x)}=-\frac{1}{1+\sqrt x}$$Dieser gekürzte Funktionsterm lässt sich nun an der Stelle \(x=1\) ausrechnen:$$z=-\frac{1}{1+\sqrt1}=-\frac{1}{2}$$

~plot~ (1-sqrt(x))/(x-1) ; {1|-0,5} ; [[0|4|-1|0]] ~plot~

Answer 2

\(z = \lim\limits_{x\to 1}\frac{1-\sqrt{x}}{x-1}\)