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Funktion ft(x) =tx*ex^2

mit Stammfunktion ex^2 * (-t/2)

1. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von der x-Achse, dem Graphen von ft und der Geraden x=a mit a>0 eingeschlossen wird.
2. Zeigen sie, dass der Inhalt der Fläche für a gegen unendlich einen endlichen Wert annimmt.

Kann mir bitte dabei jemand helfen? Irgendwie finde ich keinen Anfang.

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Aloha :)

ft(x)=txex2;xa mit a>0f_t(x)=txe^{-x^2}\quad;\quad x\le a\text{ mit } a>0

Bei x=0x=0 hat die Funktion ft(x)f_t(x) eine Nullstelle, hier fängt die zu berechnende Fläche an. Die rechte Grenze ist durch x=ax=a festgelegt, daher ist:Fa=0aft(x)dx=0atxex2dx=t ⁣0axex2dx=t[12ex2]0a=t(1212ea2)F_a=\left|\int\limits_0^a f_t(x)dx\right|=\left|\int\limits_0^a txe^{-x^2}dx\right|=|t|\!\int\limits_0^a xe^{-x^2}dx=|t|\left[-\frac{1}{2}e^{-x^2}\right]_0^a=|t|\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-a^2}\right)Speziell für aa\to\infty konvergiert die Fläche, denn:F=tlima(1212ea2)=t2F_\infty=|t|\lim\limits_{a\to\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-a^2}\right)=\frac{|t|}{2}

Avatar von 152 k 🚀

Danke für die Antwort aber warum bei der Stammfunktion -1/2. Da müsste doch -t/2 stehen.

Ich habe das tt vor das Integral gezogen, weil für die Fläche der Betrag von tt benötigt wird und es bei der Berechnung nichts zur Sache tut.

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