E-Funktion mit Schar, Integral

Question

Funktion ft(x) =tx*e^x^2

mit Stammfunktion e^x^2 * (-t/2)

1. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von der x-Achse, dem Graphen von ft und der Geraden x=a mit a>0 eingeschlossen wird.
2. Zeigen sie, dass der Inhalt der Fläche für a gegen unendlich einen endlichen Wert annimmt.

Kann mir bitte dabei jemand helfen? Irgendwie finde ich keinen Anfang.

Answer 1

Aloha :)

$$f_t(x)=txe^{-x^2}\quad;\quad x\le a\text{ mit } a>0$$

Bei \(x=0\) hat die Funktion \(f_t(x)\) eine Nullstelle, hier fängt die zu berechnende Fläche an. Die rechte Grenze ist durch \(x=a\) festgelegt, daher ist:$$F_a=\left|\int\limits_0^a f_t(x)dx\right|=\left|\int\limits_0^a txe^{-x^2}dx\right|=|t|\!\int\limits_0^a xe^{-x^2}dx=|t|\left[-\frac{1}{2}e^{-x^2}\right]_0^a=|t|\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-a^2}\right)$$Speziell für \(a\to\infty\) konvergiert die Fläche, denn:$$F_\infty=|t|\lim\limits_{a\to\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-a^2}\right)=\frac{|t|}{2}$$

Comments

Danke für die Antwort aber warum bei der Stammfunktion -1/2. Da müsste doch -t/2 stehen.

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Ich habe das \(t\) vor das Integral gezogen, weil für die Fläche der Betrag von \(t\) benötigt wird und es bei der Berechnung nichts zur Sache tut.