Kann ich bei dieser Funktion zwein separate Integrationen durchführen und diese dann später zusammen setzen?

Question

Aufgabe:

Kann ich bei dieser Funktion zwein separate Integrationen durchführen und diese dann später zusammen setzen?

1.) (x+1)/(x^2+2x+1) = (x+1)/(x+1)^2

2.) (x+1)/(x^2+1)

Text erkannt:

(c) \( \int \frac{x+1}{\left(x^{2}+2 x+1\right)\left(x^{2}+1\right)} d x \)

Problem/Ansatz:

Ich habe Schwierigkeiten folgende Gleichung zu integrieren:

Answer 1

Hallo,

1) kürze x+1

2) Schreibe den Integranden um in eine Summe:

=\( \frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+1} \)

3) mit PBZ

Ansatz:

Vereinfache den Integranden vorher:

=\( \frac{1}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)} \)

--->Ansatz für PBZ:

=A/(x+1) +(Bx+C)/(x^2+1)

Comments

Answer 2

Es ist x^2 +2x +1 = (x+1) ^2 . Verwende damit die

Methode der Partialbruchzerlegung mit dem Ansatz

$$f(x) = \frac{ax+b}{x^2 + 2x + 1 }+\frac{cx+d}{x^2 + 1 }$$

Ich bekomme dann

$$f(x) = \frac{0,5x+0,5}{x^2 + 2x + 1 }+\frac{-0,5x+0,5}{x^2 + 1 }$$

Comments

Danke für deine Antwort!

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$I=\int\frac{x+1}{(x^2+2x+1)(x^2+1)}dx=\int\frac{x+1}{(x+1)^2(x^2+1)}dx=\int\frac{1}{(x+1)(x^2+1)}dx$$Wir zerlegen den Bruch in Partialsummen:$$\frac{1}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$$1) Wir multiplizieren die Gleichung mit \((x+1)\) und setzen \(x=-1\) ein:$$\frac{1}{x^2+1}=A+\frac{Bx+C}{x^2+1}(x+1)\quad\stackrel{(x=-1)}{\implies}\quad A=\frac{1}{(-1)^2+1}=\frac{1}{2}$$

2) Wir multiplizeren die Gleichung mit \((x^2+1)\) und setzen \(x=0\) ein:$$\frac{1}{x+1}=\frac{A(x^2+1)}{x+1}+Bx+C\quad\stackrel{(x=0)}{\implies}\quad1=A+C=\frac{1}{2}+C\implies C=\frac{1}{2}$$

3) Wir setzen in die vorige Gleichung \(x=1\) ein:$$\frac{1}{2}=A+B+C=\frac{1}{2}+B+\frac{1}{2}\implies B=-\frac{1}{2}$$

Also haben wir als Zerlegung gefunden:$$\frac{1}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{1}{2(x+1)}+\frac{-x+1}{2(x^2+1)}$$

Das heißt für das gesuchte Integral:

$$I=\frac{1}{2}\int\frac{1}{x+1}dx-\frac{1}{2}\int\frac{x-1}{x^2+1}dx$$$$\phantom I=\frac{1}{2}\int\frac{1}{x+1}dx-\frac{1}{4}\int\frac{2x}{x^2+1}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2+1}dx$$$$\phantom I=\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{4}\ln(x^2+1)+\frac{1}{2}\arctan(x)+\text{const}$$