Vorgehen bei der Rekonstruktion von Funktionen

Question

Aufgabe:

Gesucht ist eine Funktion dritten Grades, die eine Nullstelle bei = 0 und eine Wendestelle bei = 1 besitzt. Außerdem nimmt sie im Punkt (2|4) einen Extrempunkt an.
Wie lautet die Funktionsgleichung?

Problem/Ansatz

f‘(0)=0

f‘‘(1)=0

f‘‘(1)=4

f‘(2)=4

Hab Probleme bei den Punkten,die man braucht, was x und was y ist und wie man das einsetzt.

Kann mir jemand einen Tipp geben,wie ich mich verbessern kann

Answer 1

Nullstelle bei 0

        \(f(0) = 0\)

Wendestelle bei = 1

        \(f''(1) = 0\)

Punkt (2|4):

        \(f(2) = 4\)

Extrempunkt bei \(x = 2\)

        \(f'(2) = 0\)

was x und was y ist und wie man das einsetzt

Bei dem Punkt \((2|4)\) ist \(x=2\) und \(y = 4\).

Allgemeine Funktionsgleichung einer Funktion dritten Grades lautet

        \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\).

Wegen \(x=2\) ersetzt man jedes \(x\) durch eine \(2\) und kommt zu

    \(f(2) = a\cdot 2^3 + b\cdot 2^2 + c\cdot 2 + d\).

Wegen \(f(2) = 4\) ersetzt man \(f(2)\) durch \(4\) und kommt so zu

        \(4 = a\cdot 2^3 + b\cdot 2^2 + c\cdot 2 + d\).

Das ist eine der vier Gleichungen, die du brauchst.

Answer 2

Gesucht ist eine Funktion dritten Grades, die eine Nullstelle bei x= 0 und eine Wendestelle bei x= 1 besitzt. Außerdem nimmt sie im Punkt (2|4) einen Extrempunkt an.
Wie lautet die Funktionsgleichung?

f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x + d

Nullstelle bei x= 0   →   N(0|0)

f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x + d

f(0)=a*0+b*0+c*0+ d

1.)d=0

Punkt (2|4) 

f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x + d

f(2)=a*2^3+b*2^2+c*2 +0

2.) a*2^3+b*2^2+c*2 =4

Bei  Punkt (2|4) liegt auch ein Extremwert

f´(x)=3a*x^2+2*b x+ c

f´(2)=3a*2^2+2*b *2+ c

3.)3a*2^2+2*b *2+ c=0

Wendestelle bei x= 1  →  W(1|f(1))    

  f´´(x)=3a*x^2+2b*x + c

f´´(1)=3a*1^2+2b*1 + c

4.) 3 a*1^2+2b*1 + c=0

Answer 3

Gesucht ist eine Funktion dritten Grades,
f ( x ) = a * x^3 + b*x^2 + c*x + d

die eine Nullstelle bei x= 0
f ( 0 ) = 0
schon einmal vorab
f ( 0 ) = a * 0^3 + b*0^2 + c*0 + d = 0  => d = 0
also
f ( x ) = a * x^3 + b*x^2 + c*x
f ´( x ) = 3 a * x^2 + 2b * x + c
f ´´( x ) = 6 a * x + 2b

und eine Wendestelle bei x = 1 besitzt.
f ´´( 1 ) = 0
Außerdem nimmt sie im Punkt (2|4) einen
Extrempunkt an.
f ( 2 ) = 4
f ´ ( 2 ) = 0

Jetzt die Stellen einsetzen.
Es entsteht ein lineares Gleichungssystem
mit 3 Gleichung und 3 Unbekannten.

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