Rekonstruktion von Funktionen ohne Knick

Question

Hallo Leute. Komme mit dieser Aufgabe nicht weiter und meine Lehrerin ist für die nächsten 2 Wochen nicht verfügbar. Leider fangen wir wenn sie wieder da ist mit einem neuen Thema an. Diese Aufgabe ist keine Hausaufgabe sondern nur eine Wiederholung. Danke im Voraus für die Antworten.

Aufgabe: Die beiden Kurvenstücke sollen vom Punkt A(-2/-2) zum Punkt B(2/2) durch eine ganzrationale Funktion so verbunden werden, dass die Verbindung knickfrei ist. Der Graph durch B und C(3/1) ist dabei eine Parabel.

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Hab beide Lösungen versucht und beide scheinen falsch zu sein. Gibt man die Lösung ins Koordinatensystem ein erhält man eine ganz andere Funktion. Ich bitte um mehr Lösungsoptionen. Danke.

Answer 1

Der Graph durch B und C(3/1) ist dabei eine Parabel

sogar Normalparabel mit Scheitel in (3/1) also

Gleichung   y =  (x-3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 8

Also ist bei x=2 die Steigung -2.

In A kommt der Graph als Gerade mit der Steigung 1 an.

Also muss für die ganzrationale Funktion f gelten

f(-2)=-2  damit es durch A geht

f'(-2)=1   damit kein Knick in A

f(2)=2     damit es durch B geht

f'(2)=-2  damit kein Knick in B.

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Hab

Text erkannt:

Mathe - Rekonstruktion
Penkte: \( A(-2 \mid-2) \quad \) Finlikion: \( f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d \) \( B(212) \quad f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+2 x+c \) \( c(3 \mid 1) \quad f^{\prime \prime}(x)=6 a x+2 b \)
I. \( f(-2)=-2 \rightarrow \) damit der Gaf durh A gcht \( -2=-8 a+4 b-2 c+d \)
II. \( f^{\prime}(-2)=1 \rightarrow \) danit kein kaich in A (steigung ist hier 1 ) \( 1=-12 a+4 b+c \)
III. \( f(2)=2 \rightarrow \) damit der Graf darch \( B \) geht \( 2=8 a+4 b+2 c+d \)
IV. \( f^{\prime}(2)=-2 \longrightarrow \) damit kein Krick in B
\( -2=12 a+4 b+c \)

Hab jetzt alle Bedingungen so aufgeschrieben. Ist es richtig? Was soll ich jetzt wo einsetzen? Alles macht gerade für mich keinen Sinn

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Deine 2. Gleichung ist falsch.

Es ist f ' (x) = 3ax^2 + 2bx +c

Also f'(-2) = 12a - 4b + c

Damit das richtige Gleichungssystem:

 -8a + 4b - 2c + d = -2
12a - 4b + c         = 1
8a + 4b + 2c + d = 2     | + 1. Gleichung
12a + 4b + c         = -2  | - 2. Gleichung

-8a + 4b - 2c + d = -2
12a - 4b +c           = 1     | *2 und +3* 1. Gleichung
       8b         + 2d = 0   | :2
       8b               = -3

-8a + 4b - 2c + d = -2
         4b -4c + 3d= -4 
       4b         + d = 0
      8b               = -3

Dann bekommst du aus der 4. Gl.  b=-3/8 

Das in die 3. Gl. gibt d=3/2  und mit der 2. dann

c = 7/4  und mit der 1. dann das a=-3/16.

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Okay Danke :)

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Hab beide Lösungen versucht und beide scheinen falsch zu sein. Gibt man die Lösung ins Koordinatensystem ein erhält man eine ganz andere Funktion.

Die Lösungen von mathef und vom Mathecoach (s.dort) sind identisch und lauten :$$f(x)=-\frac{3}{16}x^{3}-\frac{3}{8}x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{3}{2}$$und so sieht das aus:

https://www.desmos.com/calculator/ou8phijaq9

Ist doch ok! was hast Du "ins Koordinatensystem" eingegeben?

Answer 2

Benutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(-2) = -2
f'(-2) = 1
f(2) = 2
f'(2) = -2

Gleichungssystem

-8a + 4b - 2c + d = -2
12a - 4b + c = 1
8a + 4b + 2c + d = 2
12a + 4b + c = -2

Errechnete Funktion

f(x) = -0,1875·x^3 - 0,375·x^2 + 1,75·x + 1,5

Skizze