Deine 2. Gleichung ist falsch.
Es ist f ' (x) = 3ax^2 + 2bx +c
Also f'(-2) = 12a - 4b + c
Damit das richtige Gleichungssystem:
-8a + 4b - 2c + d = -2
12a - 4b + c = 1
8a + 4b + 2c + d = 2 | + 1. Gleichung
12a + 4b + c = -2 | - 2. Gleichung
-8a + 4b - 2c + d = -2
12a - 4b +c = 1 | *2 und +3* 1. Gleichung
8b + 2d = 0 | :2
8b = -3
-8a + 4b - 2c + d = -2
4b -4c + 3d= -4
4b + d = 0
8b = -3
Dann bekommst du aus der 4. Gl. b=-3/8
Das in die 3. Gl. gibt d=3/2 und mit der 2. dann
c = 7/4 und mit der 1. dann das a=-3/16.