Lineare Gleichungssysteme: Anzahl Lösungen anhand der Zeilenstufenform mit Parameter bestimmen?

Question

Die Aufgaben sind immer die selben, nämlich die folgende: Bestimmen Sie für jeden Wert von k ∈ R die Anzahl der Lösungen dieses Gleichungssystems.

Zum Beispiel für diese Gleichung:

x + 2y + kz = −1
3x + (k + 5)y + z = 7
x + 2y + 2kz = 3

Als nächstes habe ich die so gut es geht auf die Zeilenstufenform gebracht ohne durch "k" zu dividieren.

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & -5 \\ 0 & k-1 & 1 & 22 \\ 0 & 0 & k & 4\end{array}\right) \)

Jetzt steht in den Lösungen: Ich muss die Fälle k=1 und k=0 untersuchen. Ich denke hier kommt es von der 3. Zeile und von der zweiten Zeile.

Bei diesem Beispiel:

2kx + 4y = 6
kx + ky = k
 

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{ccc}2 k & 4 & 6 \\ 0 & 2 k-4 & 2 k-6\end{array}\right) \)

Müsste ich ja 2k=0, 2k-4=0 und 2k-6=0 untersuchen. Jedoch steht in den Lösungen, dass man nur die 2k-4 untersuchen muss (d.h. k=2). Wieso ist das so? Wie weiss ich auf welche Terme ich schauen muss?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Wenn 2k-4=0 ist also k=2 dann ist 2k-6 ja gleich -2 und die

letzte Gleichung wäre da 0*x2 = -2 , also jedenfalls

unlösbar.

Comments

Guten Tag mathef

Danke vielmals für die Antwort. Jedoch wäre ja bei 2k-6=0 k=3. Wie finde ich jedoch heraus, welche Terme ich mir genauer anschauen muss, damit ich genau sagen kann,bei welchem k es eine eindeutige Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösung gibt?

MfG
Welt

---

Es geht doch nur um die Elemente auf der Hauptdiagonale.

Wenn die nicht 0 sind, gibt es immer Lösungen, egal was auf der

rechten Seite der Gleichung steht.

Und wenn - wie in deinem Fall - das

k auf beiden Seiten vorkommt

(2k-4) * x2 = (2k-6)

Dann gibt es eben auch nur 2 Fälle:

2k-4 ≠ 0 dann ist x2 =  (2k-6) (  (2k-4) die einzige Lösung

(auch wenn k=3 ist, dann eben x2=0)

und für 2k-4 = 0 hast du  0*x2=-2

und das hat eben keine Lösung.

Von dem 2k-6 Term hängt also nicht die

Lösbarkeit ab.

Und k=0 natürlich auch, das hattest du doch schon.

Answer 2

Hallo,

ich weiß nicht, ob es sinnvoll ist, da irgendwelche Regeln zu formulieren. Ich würde pragmatisch vorgehen und das Gleichungssystem einfach lösen - und dabei alle "Probleme" notieren und dann separat abarbeiten. Also bei Deinem letzten Beispiel:

$$\begin{pmatrix}2k & 4 & 6 \\ 0 & 2k-4 & 2k-6\end{pmatrix}$$

Aus der letzten Zeile ergibt sich:

$$x_2=\frac{2k-6}{2k-4} \text{  sofern } k \neq 2$$

Der Vorbehalt \( k \neq 2\) ergibt sich natürlich, weil nicht durch 0 dividiert werden darf.

Dann folgt aus der ersten Zeile:

$$x_1=\frac{1}{2k}(6-4x_2) \text{   sofern } k \neq 0$$

Also erhalten wir für \(k \neq 2,0\) eine eindeutige Lösung.

Dann betrachten wir \(k=2\)
$$\begin{pmatrix}4 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix}$$

Wir sehen also einen Widerspruch: \(0x_1+0x_2=-2\), also ist die Lösungsmenge leer.

Dann betrachten wir \(k=0\):

$$\begin{pmatrix}0 & 4 & 6 \\ 0 & -4 & -6\end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix}0 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$

Wir erhalten unendlich viele Lösungen: \((t,3/2)\) mit \(t \in \mathbb{R}\). Du hast also Recht, dass man auch den Fall \(k=0\) betrachten muss.

Im allgemeinen könnten hier noch weitere Fäll auftreten, wenn Du beim Umformen auf Dreiecksgestalt noch weitere Einschränkungen festlegen musst - etwa Division durch k o.ä.

Gruß

Comments

Guten Tag MathePeter

Danke vielmals für die Antwort. Es muss doch ein Grundkonzept bei diesem Aufgaben geben. Muss ich mich auf die Terme mit k konzentrieren, welche sich in der Hauptdiagonale befinden oder wie finde ich jedoch heraus, welche Terme ich mir genauer anschauen muss, damit ich genau sagen kann, bei welchem k es eine eindeutige Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösung gibt?

MfG
Welt