Wie berechnet man den Fixvektor?

Question

Aufgabe:

Fixvektor berechnen

0.25 | 0.5 | 0.15    

0.5   |0.25| 0.25    

0.25|0.25| 0.6

Wie berechnet man den Fixvektor?

Comments

Gesucht ist vermutlich ein Vektor v ∈ ℝ³\{0} mit Av=v. Löse dazu das LGS (A-E₃)v = 0.

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Der gesamte Kommentare sagt mir genau gar nichts. Alleine die Definition besteht zur hälfte aus Hieroglyphen aber davon mal abgesehen wollte ich nur den rechnerischen weg haben. Die reinen Lösungen sagt mir auch mein Taschenrechner.

Answer 1

Aloha :)

Der Fixvektor $\vec x$ ändert sich nicht (mehr), wenn die Matrix auf ihn wirkt:

$$\left(\begin{array}{rrr}0,25 & 0,50 & 0,15\\0,50 & 0,25 & 0,25\\0,25 & 0,25 & 0,60\end{array}\right)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\Longleftrightarrow$$$$\left(\begin{array}{rrr}0,25 & 0,50 & 0,15\\0,50 & 0,25 & 0,25\\0,25 & 0,25 & 0,60\end{array}\right)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\Longleftrightarrow$$$$\left(\begin{array}{ccc}0,25-1 & 0,50 & 0,15\\0,50 & 0,25-1 & 0,25\\0,25 & 0,25 & 0,60-1\end{array}\right)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$Das können wir mit Gauß lösen:

$$\begin{array}{rrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & = & \text{Aktion}\\\hline-0,75 & 0,5 & 0,15 & 0 &+3\cdot Z_3\\0,5 & -0,75 & 0,25 & 0 &-2\cdot Z_3\\0,25 & 0,25 &-0,4 & 0 &\cdot\,4\\\hline0 & 1,25 & -1,05 & 0 &+Z_2 \\0 & -1,25 & 1,05 & 0 & \cdot\,(-\frac{4}{5}) \\1 & 1 &-1,6 & 0 &\\\hline0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 1 & -0,84 & 0 & \\1 & 1 &-1,6 & 0 &-Z_2\\\hline0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 1 & -0,84 & 0 &\Rightarrow x_2=0,84\cdot x_3 \\1 & 0 &-0,76 & 0 &\Rightarrow x_1=0,76\cdot x_3\end{array}$$An $x_3$ werden nach dem Gauß-Verfahren keine Anforderungen gestellt, sodass diese Koordinate beliebig gewählt werden kann. Damit gibt es unendlich viele Fixvektoren:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,76x_3\\0,84x_3\\x_3\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}0,76\\0,84\\1\end{pmatrix}$$

Da du hier relative Werte brauchst, muss die Summe der Komponenten $1$ ergeben:$$0,76+0,84+1=2,6\implies x_3=\frac{1}{2,6}$$Damit lautet der gesuchte Fixvektor:$$\vec x=\begin{pmatrix}0,2923\\0,3231\\0,3846\end{pmatrix}$$

Answer 2

Wenn M die Matrix ist, dann gilt für einen Fixvektor x

M * x = x

==>   M * x = E * x   ( E ist die Einheitsmatrix .)

==>  ( M - E ) * x =  0-Vektor

Also bilde ein homogenes Gleichungssystem mit der Matrix M-E ,

hier wäre das

-0,75      0,5     0,15
0,5    -0,75     0,25
0,25     0,25     -0,4

Gausss-Algorithmus liefert daraus

  1        0      -0,76
 0        1       -0,84
  0        0          0

Also ist x3 beleibig, etwa x3=t und damit

x1= 0,76t   und x2=0.84t  .

Alle Fixvektoren sehen also so aus

( 0,76t   ,  0.84t  , t )

Du brauchst ja eine Prognose für die Prozente

also muss 0,76t   + 0.84t +  t = 100 sein

2,6t=100

      t= 38,5 also ist der Fixvektor

            (29,2%  ; 32,3%   38,5% ).

Comments

Ich scheitere bei Gauß. Ich bekomme deine Matrix einfach nicht raus. Bzw. irgendeine die funktioniert

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-0,75      0,5    0,15
0,5    -0,75    0,25
0,25    0,25    -0,4

am besten 1. Zeile und 3. Zeile mal 4,
damit die Zahlen was einfacher werden und

2. Zeile mal 2 und mit der 1. tauschen

1    -1,5     0,5
 -3     2       0,6
1        1      -1,6

Dann 2. Zeile+3* erste

und 3. Zeile minus erste

1    -1,5    0,5
0    -2,5    2,1
0     2,5    -2,1   Dann 3.Zeile plus zweite

1    -1,5    0,5
0    -2,5    2,1
0       0       0   

Da eine 0-Zeile entsteht: x3=t einsetzen

und die 2. Zeile sagt: -2,5x2 = -2,1t

                ==>   x2 = 0,84t

alles in die 1. einsetzen etc.