Welche Tangenten an f = (1-x^2)^{1/2} schneiden die y-Achse an y= 5/4

Question

Gegeben ist die funktion f: [-1,1] mit f=(1-x^2)^{1/2}.

Gesucht sind die Tangenten die y an der Stelle 5/4 schneiden und wir haben mehrere ansätze versucht aber alle führten ins nichts, danke für die hilfe.

Comments

Wo hängt es genau?

Stelle finden durch lösen f(x₁) = 5/4

Die Steigung (m) der Tangente durch die Ableitung f'(x₁) ermitteln, wobei x₁ die eben berechnete Stelle ist

löse nun 5/4 = m*x₁ +b ; wobei dir x₁ und m ja schon bekannt sind (allgem. Gleichung für Geraden)

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Wenn man die erste ableitung macht und dann x1 einsetzt wird der nenner 0. Da ist das problem

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die Ableitung ist doch f'(x) = -x falls ich die Funktion f richtig erkenne

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Die ableitung lautet -x/wurzel 1-x^2

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ah ... jetzt sehe ich das Problem:

f erreicht nie die Höhe 5/4 ...

Sicher das 5/4 und f so richtig sind? Vtl. verlesen?

Sonst ist es ein Fehler in der Aufgabenstellung

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f ist also (1- x²)/2 ?

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Sry war mein fehler hier online, f lautet wurzel aus 1-x^2

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hmm... die Funktion nimmt trozdem nie den Wert 5/4 an. Geht es vtl. um den Wert y=4/5 ?

Die Wurzel aus einer Zahl, die kleiner als 1 ist, kann ja nicht größer als 1 werden

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Die funktion nicht, aber die tangenten

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Ne sorry es geht um die Stelle 5/4 nicht um den Wert 5/4. Ich habe mich verlesen ... gucke gleich nochmal

Answer 1

y = mx + b

Da die Tagente die y-Achse bei 5/4 schneidet folgt direkt mit 5/4 = m*0 +b, dass b = 5/4 ist.

Der zweite Punkt der Tagente, der bekannt ist, ist der Berührpunkt an f(x).

Allgemein lässt sich dieser schreiben als (x₀; f(x₀))

Dieser muss auch auf der Tagente liegen. Außerdem muss der Anstieg der Tagente

f '(x₀) sein.

Die wurde ja schon genannt: f ' (x)  = -x/√(1-x²)

Also:

√(1-x₀²) = -x₀/√(1-x₀²) * x₀ + 5/4

1-x₀²  =  -x₀² +  5/4* √(1-x₀²)

4/5 = √(1-x₀²)

16/25 = 1-x₀²

9/25 = x₀²

x₀₁= 3/5          x₀₂= -3/5

f ' (3/5)  = (3/5)/√(1-(3/5)²) = 3/4

f ' (-3/5)  = (-3/5)/√(1-(-3/5)²) = -3/4

Die Tangenten lauten also:

y₁ = 3/4 *x  + 5/4

y₂ = -3/4 *x  + 5/4