Stammfunktion von (1/(x(ln(x))^2))

Question

Kann mir jemand die Stammfunktion von (1/(x(ln(x))^2)) bilden? (Gerne mit ausführlicher Erklärung) Vielen Dank

Comments

Vorschlag, während du warten musst:

Substituiere u = lnx

u' = 1/x

du/dx = 1/x

du = 1/x dx …

Answer 1

Stammfunktion von (1/(x(ln(x))²))

Substituiere u = lnx

u' = 1/x

du/dx = 1/x

du = 1/x dx …

∫(1/(x(ln(x))²)) dx = ∫(1/(x) *1/(ln(x))²)) dx =  ∫(1/(x) *1/u² dx

=  ∫ 1/u² du =   ∫ u^-2 du = (-1) u^{-1} + C |Rücksubst.
= (-1) (ln(x))^{-1} + C = -1/ln(x) + C

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%281%2F%28x%28ln%28x%29%29%5E2%29%29

Comments

Was geschieht mit dem 1/x term? Wird der zu 1? Danke schonmal

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1/x dx wie durch du ersetzt. Gute Frage! Wollte ich noch einfärben.

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Stimmt, du hast ja oben du/dx=1/x gesetzt. Wieso kommst Du allerdings auf das?

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u' = du/dx ist die übliche Abkürzung, wenn u nach x abgeleitet wird.

Diese Art Substitution klappt, wenn die innere Ableitung als Faktor neben einer geschachtelten Funktion steht.

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Sprich: wenn ich eine (geschachtelte) Funktion (z.b. exp(x)) integrieren will und als Faktor, die erste innere Ableitung davor stehen habe, dann kann ich diese Ableitung eigentlich "vergessen". Wie kommt diese Art von Substitution zustande bzw. auf welche Regeln kann man sie zurückführen?

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Das ist eigentlich das erste, was hier erwähnt wird: https://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution

und beruht auf der Kettenregel des Differenzierens.

Beachte die veränderten Grenzen. Entsprechen eigentlich der Rücksubstitution.