Partielle Integration uni

Question

Aufgabe:
Lösen Sie das Integral mit partieller Integration: \( \int\limits_{}^{} \)\( \frac{lnx}{x} \)dx

Problem/Ansatz:

Ich sitze schon seit n Stunde dran, aber die Lösung meines Profs (bzw. der Rechenweg) ist ein Chaos. Ich kann das Ergebnis einwenig nachvollziehen aber das v‘(x) bei ihm macht keinen Sinn... Die gesamte Rechnung von ihm ist komplett unübersichtlich. Habe schon eine Email vor einigen Tagen verschickt und bisher noch keine Antwort bekommen. Alle Aufgaben mit partieller Ableitung hatte ich richtig und konnte diese auch nachvollziehen bis auf die hier.

Danke für die Hilfe Lg Lumi

Comments

Hinweis:

Lösen Sie das Integral mit partieller Integration

Wenn das so gefordert wurde, mußt Du es auch so machen, sonst bekommst Du 0 Punkte .

Answer 1

Hallo,

damit Du endlich zu einem Ergebnis kommst, falls die Aufgabe wirklich so lautet:

(Lösen Sie das Integral mit partieller Integration: \( \int\limits_{}^{} \)\( \frac{lnx}{x} \)dx)

Allgemein gilt:

∫ u' v dx= u v -∫ u v' dx

Setze:

v= ln(x) und u' =\( \frac{1}{x} \)

u= ln(x)      v= ln(x)

u'=1/x       v'= 1/x

= ln(x) *ln(x) - ∫ ln(x) *  \( \frac{1}{x} \) dx

\( \int\limits_{}^{} \)\( \frac{lnx}{x} \)dx = ln^2(x) - ∫ ln(x) * \( \frac{1}{x} \) dx

Addiere auf beiden Seiten  + ∫ ln(x) * \( \frac{1}{x} \) dx

2  \( \int\limits_{}^{} \)\( \frac{lnx}{x} \)dx = ln^2(x) | :2

\( \int\limits_{}^{} \)\( \frac{lnx}{x} \)dx =  (ln^2(x) )/2 +C

Comments

wow danke!!!

Answer 2

Aloha :)

Das ist ein Standard-Integral der Form$$\int f'(x)\cdot f(x)\,dx=\frac{1}{2}\left[f(x)\right]^2+\text{const}$$denn es gilt ja \(\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}\). Das heißt:

$$\int\frac{\ln x}{x}\,dx=\int\frac{1}{x}\cdot\ln(x)\,dx=\frac{1}{2}\ln^2x+\text{const}$$

Wenn du dieses Standard-Integral nicht kennst, was schrecklich wäre, hilft dir die folgende Substition weiter:

$$u\coloneqq\ln(x)\implies\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\implies dx=x\,du$$$$\int\frac{\ln x}{x}\,dx=\int\frac{u}{x}\,x\,du=\int u\,du=\frac{u^2}{2}+\text{const}=\frac{1}{2}\ln^2x+\text{const}$$

Comments

Dankeschööön :))