Integrieren von Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:Gesucht ist der Inhalt derjenigen Fläche A, die von den Graphen der Funktionen f und g sowie der y-Achse begrenzt wird. Fertigen Sie zunächst eine Grobskizze an.

f(x)=\( \frac{1}{4} \)*(\( e^{x} \)-1)

g(x)=2-\( e^{x} \)

Wie groß ist die auszurechnende Fläche A?

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits die Schnittstelle berechnet und bin auf ln(1,8)≈ 0,59 gekommen.

Anschließend habe ich f(x) von g(x) abgezogen und habe die Differenzfunktion d(x) = \( \frac{5*e^{x}}{4} \)-\( \frac{9}{4} \) herausgefunden.

Von dieser habe ich anschließend die Stammfunktion gebildet:

D(x) =\(\frac{5*e^{x}}{4}\)-\( \frac{9}{4} \)x heraus

Dort setze ich nun 0,59 und 0 ein. Leider komme ich jedoch dabei auf - 0,32 und das haut nicht hin.

Ich würde mich über Hilfe freuen.

Text erkannt:

16
\( A \)

Answer 1

komme ich jedoch dabei auf - 0,32

Das ist das Integral.

Flächeninhalt bekommst du indem du davon den Betrag nimmst.

Anschließend habe ich f(x) von g(x) abgezogen

\( \frac{5*e^{x}}{4} \)-\( \frac{9}{4} \)  sieht eher danach aus, als ob du \(g(x)\) von \(f(x)\) abgezogen hast.

Comments

Oh okay... Da ist mir ehrlich gesagt neu. Was wäre denn dann der Betrag?

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Der Betrag von -0,32 ist 0,32.

Allgemein ist der Betrag einer Zahl der Abstand dieser Zahl zur 0 auf der Zahlengerade. Weil Abstände nicht negativ sind, fällt das Vorzeichen weg.

Du hättest das mit dem Betrag vermeiden können indem du \(g(x)-f(x)\) integrierst anstatt \(f(x)-g(x)\) zu integrieren. Grund ist, dass der Graph von \(g(x)\) im betrachteten Intervall oberhalb des Graphen von \(f(x)\) verläuft.

Da sich die zwei Ergebnisse aber sowieso nur im Vorzeichen unterscheiden und das mittels Betrag repariert werden kann, mache ich mir normalerweise nicht die Mühe, herauszufinden welcher Graph oberhalb und welcher unterhalb verläuft.

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Vielen Dank!