Bestimmen Sie die allgemeine Lösung für y''(x)=4cos(x)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung für $$ y''(x)=4 \cdot cos(x) $$

Problem/Ansatz:

Meine Lösung wäre: $$ y(x)=-4 \cdot cos(x) $$
Habe ich das richtig verstanden, dass ich um die allgemeine Lösung zu bilden, einfach ich sag mal, zwei mal die Stammfunktion bilden muss, wie in diesem Fall?

Comments

Das ist eine 1-Punkt Aufgabe und soll laut Prof. kein Aufwand sein...

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Deine Lösung ist nicht die allgemeinste.
z.B. ist \(y(x)=-4\cdot cos(x)+x+1\) auch eine Möglichkeit.
Die allgemeinste Lösung wäre \(y(x)=-4\cdot cos(x)+c*x+c'\) für konstante \(c, \ c'\).

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Leider habe wir das Thema DGL 2.Ordnung nicht mehr behandelt..
Müsste ich denn immer die Konstanten c*x+c' hinzufügen, oder womit ist das abhängig?

Was ist, wenn von $$ y'(x)=4 \cdot cos(x) $$ oder $$ y'''(x)=4 \cdot cos(x) $$ die allgemeine Lösung angeben müsste, wie ist da die Konstante zu wählen?

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Hallo

eigentlich solltest du wissen, dass eine Stammfunktion immer nur bis auf eine Konstante bestimmt ist, denn sin(x)+c hat dieselbe Ableitung wie  sin(x)

beim zweiten mal integrieren hast du also sin(x)+c zu integrieren und damit

-cos(x)+cx+c'

wenn du eine 4 te Ableitung hast musst du entsprechend vor gehen und hast dann 4 Konstanten , und  c1x^3+c2x^2+c2x+c4  wen du das 4 mal ableitest kommt 0 raus.

Die Stammfunktion von f(x)=0 ist ja nicht 0 sondern c

Gruß lul

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Deine Idee mit der Stammfunktion war schon richtig, allerdings hast du übersehen, dass es zu einer Funktion unendlich viele Stammfunktionen gibt, die sich um einen konstanten Summanden unterscheiden.

Damit folgt eben

\(y''(x)=4cos(x) \Rightarrow y'(x)=\int y''(x) \ dx = \int 4cos(x) \ dx = 4sin(x)+c\) und letztlich \(y(x)=\int y'(x) \ dx = \int (4sin(x)+c) \ dx = -4cos(x)+cx+c'\) für konstante \(c, \ c'\).

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logisch, macht Sinn. Gar nicht drüber nachgedacht.

Danke euch beiden :-)

Answer 1

die Stammfunktion

Gibt's nicht.

Jede Funktion, die eine Stammfunktion hat, hat unendlich viele Stammfunktionen. Zum Beispiel ist ¼x⁴ eine Stammfunktion von x³, aber auch ¼x⁴ + 1, ¼x⁴ - ½ und ¼x4 + π.

Allgemein ist jede Funktion der Form ¼x⁴ + c eine Stammfunktion von x³.

Durch Integrieren auf beiden Seiten von

        \( y''(x)=4 \cdot \cos(x) \)

kommst du deshalb zu

        \(y'(x) = 4\cdot\sin(x) + c_1\)

und nochmaliges Integrieren liefert

      \(y(x) = -4\cdot\cos(x) + c_1 x + c_2\).