Integral durch Partialbruchzerlegung

Question

ich soll die folgende Funktion integrieren, mittels Partialbruchzerlegung. 

 

f(x) = 4x²-16x+14 / ( (x-1)(x-2)(x-3) ) 

 

Wie funktioniert das? 

Comments

Habe als Lösung die Stammfunktion:

 

- ln(x-1) + 2 ln(x-2)  + 4 ln(x-3) 

 

A=-1 , B=2 , C=4 

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Hmm, ich habe

$$\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} + \frac{1}{x-3}$$

als Partialbruchzerlegung. Also A = 1, B = 2 und C = 1.

Vllt beim Koeffizientenvergleich vertan?

Oder kennst Du auch die Zuhaltemethode..die klappt hier gut ;).

(Schau mal hier: https://www.mathelounge.de/46741/mathe-artikel-partialbruchzerlegung )


Die Integration ist dann vollens:

ln(x-1) + 2ln(x-2) + ln(x-3) + c


Grüße

Answer 1

( 4 x ²- 16 x + 14 ) / ( ( x -1) ( x -2 ) ( x - 3) )

Die Polstellen x = 1 , x = 2 und x = 3  sind aufgrund der Nullstellenform des Nenners bereits bekannt, und offensichtlich ist der Nennergrad größer als der Zählergrad. Daher sofoert der Ansatz:

A / ( x - 1) + B / ( x - 2 ) + C / ( x - 3 ) = ( 4 x ²- 16 x + 14 ) / ( ( x -1) ( x -2 ) ( x - 3) )

Multiplizieren mit dem Nenner und geeignetes Kürzen:

A ( x - 2 ) ( x - 3 ) + B ( x - 1 ) ( x - 3 ) + C ( x - 1 ) ( x - 2 ) =  4 x ²- 16 x + 14

Ausmultiplizieren:

A x ² - 5 A x + 6 A + B x ² - 4 B x + 4 B + C x ² - 3 C x + 3 C = 4 x ²- 16 x + 14

Ordnen nach Potenzen von x:

( A + B + C ) x ² + ( - 5 A - 4 B - 3 C ) x + ( 6 A + 4 B + 3 C ) = 4 x ²- 16 x + 14

Koeffizientenvergleich:

A + B + C = 4
- 5 A - 4 B - 3 C = - 16
6 A + 4 B + 3 C = 14

Lösen dieses Gleichungssystems ergibt:

A = 1 , B = 2 , C = 1

also:

( 4 x ²- 16 x + 14 ) = 1 ( x - 1 ) + 2 ( x - 2 ) + 1 / ( x - 3 )

und daher:

∫ ( 4 x ²- 16 x + 14 ) d x

=  ∫ 1 / ( x - 1 ) + 2 / ( x - 2 ) + 1 / ( x - 3 ) d x

= ln ( x -1) + 2 ln ( x - 2 ) + ln ( x -3 ) + C